5. Хорды MN и PK пересекаются в точке E. Известно, что ME = 3 см, EN = 2 см, а отрезок PE на 5 см меньше отрезка KE. Найдите длину хорды PK.

Решение:

По условию задачи даны две пересекающиеся хорды MN и PK в точке E.

Известно, что \( ME = 3 \) см и \( EN = 2 \) см.

Длина хорды MN равна \( MN = ME + EN = 3 + 2 = 5 \) см.

Также известно, что отрезок PE на 5 см меньше отрезка KE. Обозначим \( PE = x \) см. Тогда \( KE = x + 5 \) см.

Длина хорды PK равна \( PK = PE + KE = x + (x + 5) = 2x + 5 \) см.

Согласно свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

\( ME \cdot EN = PE \cdot KE \)

Подставим известные значения:

\( 3 \cdot 2 = x \cdot (x + 5) \)

\( 6 = x^2 + 5x \)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 5x - 6 = 0 \)

Решим данное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.

Используем теорему Виета: нам нужны два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -5. Это числа -6 и 1.

\( (x + 6)(x - 1) = 0 \)

Возможные значения x: \( x = -6 \) или \( x = 1 \).

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то \( x = 1 \) см. Следовательно, \( PE = 1 \) см.

Найдем длину отрезка KE:

\( KE = x + 5 = 1 + 5 = 6 \) см.

Теперь найдем длину хорды PK:

\( PK = PE + KE = 1 + 6 = 7 \) см.

Ответ: 7 см.