5. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма выпавших очков не превысила число 6. Какова вероятность того, что для этого потребовалось 3 броска? Ответ округли до сотых.

Решение:

Обозначим очки, выпавшие при первом, втором и третьем броске, как $$x_1, x_2, x_3$$. Условие задачи гласит, что сумма очков не превысила 6 до третьего броска, а после третьего броска превысила 6. Это означает:

$$x_1 \le 6$$

$$x_1 + x_2 \le 6$$

$$x_1 + x_2 + x_3 > 6$$

При броске игральной кости возможны 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого исхода равна $$\frac{1}{6}$$.

Рассмотрим возможные комбинации первых двух бросков, сумма которых не превышает 6:

• Если $$x_1 = 1$$: $$x_2$$ может быть 1, 2, 3, 4, 5 (5 вариантов).
• Если $$x_1 = 2$$: $$x_2$$ может быть 1, 2, 3, 4 (4 варианта).
• Если $$x_1 = 3$$: $$x_2$$ может быть 1, 2, 3 (3 варианта).
• Если $$x_1 = 4$$: $$x_2$$ может быть 1, 2 (2 варианта).
• Если $$x_1 = 5$$: $$x_2$$ может быть 1 (1 вариант).
• Если $$x_1 = 6$$: $$x_2$$ не может быть, так как $$x_1 > 6$$.

Общее количество исходов для первых двух бросков, сумма которых не превышает 6, равно $$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$$.

Общее количество возможных исходов для двух бросков равно $$6 \times 6 = 36$$.

Вероятность того, что сумма первых двух бросков не превысит 6, равна $$\frac{15}{36}$$.

Теперь рассмотрим третий бросок. Для того чтобы общее количество бросков стало равным 3, сумма первых двух бросков должна быть меньше или равна 6, а сумма трех бросков должна быть больше 6.

Для каждого из 15 благоприятных исходов первых двух бросков, нам нужно найти, сколько исходов третьего броска ($$x_3$$) приведут к тому, что сумма $$x_1 + x_2 + x_3 > 6$$.

Рассмотрим случаи:

• Если $$x_1 + x_2 = 2$$ (1+1), то $$x_3$$ может быть 5, 6 (2 варианта).
• Если $$x_1 + x_2 = 3$$ (1+2, 2+1), то $$x_3$$ может быть 4, 5, 6 (3 варианта).
• Если $$x_1 + x_2 = 4$$ (1+3, 2+2, 3+1), то $$x_3$$ может быть 3, 4, 5, 6 (4 варианта).
• Если $$x_1 + x_2 = 5$$ (1+4, 2+3, 3+2, 4+1), то $$x_3$$ может быть 2, 3, 4, 5, 6 (5 вариантов).
• Если $$x_1 + x_2 = 6$$ (1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1), то $$x_3$$ может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 вариантов).

Однако, в условии сказано, что сумма не ПРЕВЫСИЛА 6 до тех пор, пока сумма не превысила 6. Это значит, что мы должны рассмотреть случаи, когда $$x_1+x_2+x_3 > 6$$.

Давайте переформулируем: нам нужно, чтобы $$x_1 \ne 6$$ и $$x_1 + x_2 \ne 6$$ (если $$x_1+x_2 = 6$$, то следующий бросок, даже 1, уже превысит 6, что будет 7).

Итак, события:

1. Сумма после 1-го броска $$\le 6$$. Вероятность = 1.
2. Сумма после 2-го броска $$\le 6$$.
3. Сумма после 3-го броска $$> 6$$.

Количество благоприятных комбинаций для первых двух бросков, где сумма $$\le 6$$: 15.

Теперь для каждого из этих 15 случаев, посчитаем, сколько будет благоприятных исходов третьего броска ($$x_3$$), таких что $$x_1+x_2+x_3 > 6$$.

Случаи $$x_1+x_2$$:

• $$x_1+x_2=2$$: $$x_3 \{5, 6\}$$ (2 исхода)
• $$x_1+x_2=3$$: $$x_3 \{4, 5, 6\}$$ (3 исхода)
• $$x_1+x_2=4$$: $$x_3 \{3, 4, 5, 6\}$$ (4 исхода)
• $$x_1+x_2=5$$: $$x_3 \{2, 3, 4, 5, 6\}$$ (5 исходов)
• $$x_1+x_2=6$$: $$x_3 \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ (6 исходов)

Количество благоприятных исходов для 3 бросков, когда $$x_1+x_2 \le 6$$ и $$x_1+x_2+x_3 > 6$$:

Для $$x_1+x_2=2$$ (1 случай: 1,1): $$1 \times 2 = 2$$ исхода.

Для $$x_1+x_2=3$$ (2 случая: 1,2; 2,1): $$2 \times 3 = 6$$ исходов.

Для $$x_1+x_2=4$$ (3 случая: 1,3; 2,2; 3,1): $$3 \times 4 = 12$$ исходов.

Для $$x_1+x_2=5$$ (4 случая: 1,4; 2,3; 3,2; 4,1): $$4 \times 5 = 20$$ исходов.

Для $$x_1+x_2=6$$ (5 случаев: 1,5; 2,4; 3,3; 4,2; 5,1): $$5 \times 6 = 30$$ исходов.

Общее число благоприятных исходов для 3 бросков: $$2 + 6 + 12 + 20 + 30 = 70$$.

Общее число возможных исходов для 3 бросков: $$6 \times 6 \times 6 = 216$$.

Вероятность того, что для этого потребовалось 3 броска, равна $$\frac{70}{216}$$.

Сокращаем дробь: $$\frac{70}{216} = \frac{35}{108}$$.

Округляем до сотых: $$\frac{35}{108} \approx 0.32407...$$

Округленное значение: $$0.32$$.

Ответ: 0.32