5. Интегралро ҳисоб кунед: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos{2x} + \frac{1}{3}\sin{\frac{x}{3}}) dx\)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos{2x} + \frac{1}{3}\sin{\frac{x}{3}}) dx \), сначала найдём первообразную для подынтегральной функции.

Первообразная для \( 2\cos{2x} \) равна \( \frac{2\sin{2x}}{2} = \sin{2x} \).

Первообразная для \( \frac{1}{3}\sin{\frac{x}{3}} \) равна \( \frac{1}{3} \cdot \frac{-\cos{\frac{x}{3}}}{\frac{1}{3}} = -\cos{\frac{x}{3}} \).

Таким образом, первообразная для \( 2\cos{2x} + \frac{1}{3}\sin{\frac{x}{3}} \) равна \( F(x) = \sin{2x} - \cos{\frac{x}{3}} \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

Верхний предел интегрирования: \( b = \frac{\pi}{2} \)

Нижний предел интегрирования: \( a = 0 \)

\[ F(\frac{\pi}{2}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(\frac{\pi/2}{3}) = \sin(\pi) - \cos(\frac{\pi}{6}) = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ F(0) = \sin(2 \cdot 0) - \cos(\frac{0}{3}) = \sin(0) - \cos(0) = 0 - 1 = -1 \]

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos{2x} + \frac{1}{3}\sin{\frac{x}{3}}) dx = F(\frac{\pi}{2}) - F(0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: \( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \).