5°. Исследовать функцию f(x) = x³ - 2x² + 2 и построить ее график.

Исследование функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 2 \)

1. Область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \) — вся числовая ось.
2. Чётность/нечётность: \( f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)^2 + 2 = -x^3 - 2x^2 + 2 \). Так как \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Пересечение с осями координат:
   • С осью OY: Положим \( x = 0 \), тогда \( f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 2 = 2 \). Точка пересечения: (0; 2).
   • С осью OX: Положим \( f(x) = 0 \), то есть \( x^3 - 2x^2 + 2 = 0 \). Это кубическое уравнение, его корни сложно найти аналитически. Для построения графика воспользуемся производной.
4. Производная и промежутки монотонности: \( f'(x) = 3x^2 - 4x \). Найдем точки, в которых производная равна нулю: \( 3x^2 - 4x = 0 \) \( x(3x - 4) = 0 \) \( x_1 = 0 \) или \( x_2 = \frac{4}{3} \).
5. Определим знаки производной на интервалах:
   • На \( (-\infty; 0) \): возьмём \( x = -1 \), \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) = 3 + 4 = 7 > 0 \). Функция возрастает.
   • На \( (0; \frac{4}{3}) \): возьмём \( x = 1 \), \( f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) = 3 - 4 = -1 < 0 \). Функция убывает.
   • На \( (\frac{4}{3}; +\infty) \): возьмём \( x = 2 \), \( f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) = 12 - 8 = 4 > 0 \). Функция возрастает.
6. Экстремумы:
   • Точка \( x = 0 \) — максимум. \( f(0) = 2 \). Точка максимума (0; 2).
   • Точка \( x = \frac{4}{3} \) — минимум. \( f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + 2 = \frac{64}{27} - 2\frac{16}{9} + 2 = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} + 2 = \frac{64 - 96 + 54}{27} = \frac{22}{27} \). Точка минимума (\(\frac{4}{3}; \frac{22}{27}\)).
7. Построение графика: Отмечаем точки (0; 2) и (\(\frac{4}{3}; \frac{22}{27}\)) (примерно (1.33; 0.81)). Учитывая промежутки монотонности, строим плавную кривую.

Ответ: функция возрастает на \( (-\infty; 0) \) и \( (\frac{4}{3}; +\infty) \), убывает на \( (0; \frac{4}{3}) \). Максимум в точке (0; 2), минимум в точке (\(\frac{4}{3}; \frac{22}{27}\)). График построен.