5. Из 120 учащихся французский изучают 41, китайский — 28, корейский — 25, французский и китайский — 7, французский и корейский — 9, китайский и корейский — 3 учащихся. Все три языка — 2. Сколько учащихся не изучают ни одного языка? Изобразите решение задачи с помощью кругов Эйлера и произведите необходимые вычисления.

Решение:

Обозначим множества учащихся, изучающих языки:

• \(F\) — французский язык
• \(K\) — китайский язык
• \(R\) — корейский язык

Известные данные:

• Общее число учащихся: \(|U| = 120\)
• \(|F| = 41\)
• \(|K| = 28\)
• \(|R| = 25\)
• \(|F \cap K| = 7\)
• \(|F \cap R| = 9\)
• \(|K \cap R| = 3\)
• \(|F \cap K \cap R| = 2\)

1. Найдём количество учащихся, изучающих только французский язык:

\[ |F| - (|F \cap K| - |F \cap K \cap R|) - (|F \cap R| - |F \cap K \cap R|) - |F \cap K \cap R| = 41 - (7-2) - (9-2) - 2 = 41 - 5 - 7 - 2 = 27 \]

2. Найдём количество учащихся, изучающих только китайский язык:

\[ |K| - (|F \cap K| - |F \cap K \cap R|) - (|K \cap R| - |F \cap K \cap R|) - |F \cap K \cap R| = 28 - (7-2) - (3-2) - 2 = 28 - 5 - 1 - 2 = 20 \]

3. Найдём количество учащихся, изучающих только корейский язык:

\[ |R| - (|F \cap R| - |F \cap K \cap R|) - (|K \cap R| - |F \cap K \cap R|) - |F \cap K \cap R| = 25 - (9-2) - (3-2) - 2 = 25 - 7 - 1 - 2 = 15 \]

4. Найдём количество учащихся, изучающих ровно два языка:

Французский и китайский (без корейского): \( |F \cap K| - |F \cap K \cap R| = 7 - 2 = 5 \)

Французский и корейский (без китайского): \( |F \cap R| - |F \cap K \cap R| = 9 - 2 = 7 \)

Китайский и корейский (без французского): \( |K \cap R| - |F \cap K \cap R| = 3 - 2 = 1 \)

5. Найдём общее количество учащихся, изучающих хотя бы один язык (по принципу включения-исключения):

\[ |F \cup K \cup R| = |F| + |K| + |R| - |F \cap K| - |F \cap R| - |K \cap R| + |F \cap K \cap R| \]

\[ |F \cup K \cup R| = 41 + 28 + 25 - 7 - 9 - 3 + 2 = 94 - 19 + 2 = 75 + 2 = 77 \]

6. Найдём количество учащихся, не изучающих ни одного языка:

\[ \text{Не изучают ни одного} = |U| - |F \cup K \cup R| = 120 - 77 = 43 \]

Изображение с помощью кругов Эйлера:

Пояснения к кругам Эйлера:

• F (оранжевый круг): Изучают французский.
• K (зелёный круг): Изучают китайский.
• R (синий круг): Изучают корейский.
• В центре (пересечение всех кругов): \( |F \cap K \cap R| = 2 \) — изучают все три языка.
• Пересечение F и K (без R): \( 7 - 2 = 5 \) — французский и китайский.
• Пересечение F и R (без K): \( 9 - 2 = 7 \) — французский и корейский.
• Пересечение K и R (без F): \( 3 - 2 = 1 \) — китайский и корейский.
• Только F: \( 41 - 5 - 7 - 2 = 27 \)
• Только K: \( 28 - 5 - 1 - 2 = 20 \)
• Только R: \( 25 - 7 - 1 - 2 = 15 \)
• Общее число изучающих хотя бы один язык: \( 27 + 20 + 15 + 5 + 7 + 1 + 2 = 77 \).
• Общее число учащихся: 120.
• Число учащихся, не изучающих ни одного языка: \( 120 - 77 = 43 \).

Ответ: 43.