5. Из пункта А вверх по течению к пункту В, расстояние до которого от пункта А равно 35 км, вышла моторная лодка. Через 0,5 ч навстречу ей из пункта В отплыл плот и встретил моторную лодку через 1,5 ч после своего отплытия. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Обозначим:

• $$v_л$$ — собственная скорость лодки (км/ч)
• $$v_т$$ — скорость течения реки (км/ч), $$v_т = 2$$ км/ч
• $$S$$ — расстояние между пунктами А и В, $$S = 35$$ км

Скорость лодки по течению: $$v_{л.по ext{ тек}} = v_л + v_т = v_л + 2$$ (км/ч)

Скорость плота по течению: $$v_{п.по ext{ тек}} = v_т = 2$$ км/ч

Лодка вышла из А, плот из В. Они двигались навстречу друг другу.

Время движения лодки до встречи: $$t_л = 0.5$$ ч (до выхода плота) + $$1.5$$ ч (после выхода плота) = $$2$$ ч.

Время движения плота до встречи: $$t_п = 1.5$$ ч.

Расстояние, пройденное лодкой за 2 часа: $$S_л = v_{л.по ext{ тек}} imes t_л = (v_л + 2) imes 2$$ (км).

Расстояние, пройденное плотом за 1.5 часа: $$S_п = v_{п.по ext{ тек}} imes t_п = 2 imes 1.5 = 3$$ км.

Лодка двигалась вверх по течению, а плот — по течению. Они встретились, значит, сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию между пунктами А и В.

Однако, лодка вышла раньше. Через 0.5 часа после выхода лодки, плот только начал движение. К моменту встречи плота (через 1.5 часа после его выхода), лодка была в пути уже 0.5 + 1.5 = 2 часа.

Расстояние, которое лодка прошла за первые 0.5 часа: $$S_{л1} = (v_л + 2) imes 0.5$$ км.

Оставшееся расстояние между лодкой и пунктом В в момент выхода плота: $$S_{ост} = 35 - S_{л1} = 35 - (v_л + 2) imes 0.5$$ км.

Теперь лодка и плот движутся навстречу друг другу. Время их совместного движения до встречи — 1.5 часа.

Их относительная скорость: $$v_{отн} = v_{л.по ext{ тек}} + v_{п.по ext{ тек}} = (v_л + 2) + 2 = v_л + 4$$ км/ч.

Расстояние, которое они прошли вместе за 1.5 часа, равно $$S_{ост}$$.

$$(v_л + 4) imes 1.5 = 35 - (v_л + 2) imes 0.5$$

Раскроем скобки:

$$1.5 v_л + 6 = 35 - 0.5 v_л - 1$$

$$1.5 v_л + 6 = 34 - 0.5 v_л$$

Сгруппируем члены с $$v_л$$ и числа:

$$1.5 v_л + 0.5 v_л = 34 - 6$$

$$2 v_л = 28$$

$$v_л = \frac{28}{2}$$

$$v_л = 14$$ км/ч.

Финальный ответ:

Ответ: 14 км/ч