5. Из точки пересечения высот равнобедренного треугольника его боковая сторона видна под углом 110°. Найдите углы треугольника.

Решение:

Пусть точка пересечения высот равнобедренного треугольника — точка H. Пусть боковая сторона — AC.

1. Рассмотрим угол, под которым видна боковая сторона из точки H. Это угол ∠AHC. По условию ∠AHC = 110°.
2. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) высоты, проведенные к боковым сторонам, равны. Обозначим высоты BD (к AC) и AE (к BC). Точка пересечения высот H.
3. В четырехугольнике CDHE углы ∠HDC и ∠HEC — прямые (так как это углы при основании высот). Сумма углов четырехугольника равна 360°. Поэтому ∠DHE = 360° - 90° - 90° - ∠C = 180° - ∠C.
4. Угол ∠AHC и угол ∠DHE — вертикальные. Значит, ∠AHC = ∠DHE = 110°.
5. Отсюда, 180° - ∠C = 110°, следовательно, ∠C = 180° - 110° = 70°.
6. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то ∠A = ∠C = 70°.
7. Угол при вершине B равен ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

Ответ: Углы треугольника равны 70°, 70°, 40°.