5. Из точки В окружности опущен перпендикуляр ВМ на её диаметр АС, AB = 4 см. Найдите радиус окружности, если отрезок АМ на 4 см меньше отрезка СМ.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус окружности. Тогда диаметр \( AC = 2R \).

Из условия \( AM = CM - 4 \).

Также известно, что \( AC = AM + MC \).

Подставим \( AM = CM - 4 \) в последнее уравнение:

\[ (CM - 4) + CM = 2R \]

\[ 2CM - 4 = 2R \]

\[ CM = R + 2 \]

Тогда \( AM = CM - 4 = (R + 2) - 4 = R - 2 \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABM \) (так как \( BM \) — высота), по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]

\( 4^2 = (R - 2)^2 + BM^2 \)

\[ 16 = (R - 2)^2 + BM^2 \]

В прямоугольном треугольнике \( \triangle BCM \), по теореме Пифагора:

\[ BC^2 = BM^2 + CM^2 \]

Так как \( \triangle ABC \) вписан в окружность и \( AC \) — диаметр, то \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ABC \) — прямоугольный.

По теореме о среднем геометрическом в прямоугольном треугольнике, высота \( BM \) равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу:

\[ BM^2 = AM \cdot CM \]

Теперь подставим выражения для \( AM \) и \( CM \) через \( R \):

\[ BM^2 = (R - 2)(R + 2) = R^2 - 4 \]

Вернёмся к уравнению для \( \triangle ABM \):

\[ 16 = (R - 2)^2 + BM^2 \]

\[ 16 = (R^2 - 4R + 4) + (R^2 - 4) \]

\[ 16 = 2R^2 - 4R \]

\[ 2R^2 - 4R - 16 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ R^2 - 2R - 8 = 0 \]

Решим квадратное уравнение для \( R \) (дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)):

\[ R = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \]

Получаем два корня: \( R_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \) и \( R_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \).

Так как радиус не может быть отрицательным, \( R = 4 \) см.

Проверим: \( AM = R - 2 = 4 - 2 = 2 \) см, \( CM = R + 2 = 4 + 2 = 6 \) см. \( AM = 2 \) см, \( CM = 6 \) см. \( AM = CM - 4 \) (2 = 6 - 4), что верно. \( BM^2 = AM \cdot CM = 2 \cdot 6 = 12 \). \( AB^2 = AM^2 + BM^2 = 2^2 + 12 = 4 + 12 = 16 \), \( AB = 4 \) см, что верно.

Ответ: 4 см.