5*. Из вершины развёрнутого угла XYZ проведены его биссектриса YO и луч YR так, что ∠OYR = 33°. Какой может быть градусная мера угла XYR?

Решение:

Развёрнутый угол XYZ равен 180°. Биссектриса YO делит этот угол на два равных угла ∠XYO и ∠OYZ, каждый из которых равен 180°/2 = 90°.

По условию, луч YR находится внутри угла XYZ, и ∠OYR = 33°.

Возможны два случая расположения луча YR относительно биссектрисы YO:

1. Луч YR находится между биссектрисой YO и стороной YZ. В этом случае ∠XYR = ∠XYO + ∠OYR. Но это невозможно, так как ∠XYO = 90°, а ∠OYR = 33°, что дало бы ∠XYR = 90° + 33° = 123°, что является возможным значением. Однако, если луч YR находится между сторонами YO и YZ, то ∠XYR = ∠XYO - ∠OYR = 90° - 33° = 57°.
2. Луч YR находится между биссектрисой YO и стороной YX. В этом случае ∠XYR = ∠XYO - ∠OYR.

Рассмотрим случай, когда луч YR находится между сторонами YO и YZ. Тогда:

\( \angle XYR = \angle XYO - \angle OYR \)

\( \angle XYR = 90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ} \)

Рассмотрим случай, когда луч YR находится между сторонами YO и YX. Тогда:

\( \angle XYR = \angle XYO + \angle OYR \)

\( \angle XYR = 90^{\circ} + 33^{\circ} = 123^{\circ} \)

Таким образом, градусная мера угла XYR может быть 57° или 123°.

Ответ: 57° или 123°.