5. Известно, что sin α = 4/5 и 90° < α < 180°. Найдите sin 2α и cos 2α.

Решение:

По условию задачи, \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \) и \( 90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ} \). Это означает, что угол \( \alpha \) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

1. Найдем \( \cos \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \).
3. Так как \( \alpha \) во второй четверти, \( \cos \alpha < 0 \). Следовательно, \( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \).
4. Найдем \( \sin 2\alpha \) по формуле двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
5. \( \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} \).
6. Найдем \( \cos 2\alpha \) по формуле двойного угла: \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).
7. \( \cos 2\alpha = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25} \).

Ответ: \( \sin 2\alpha = -\frac{24}{25} \), \( \cos 2\alpha = -\frac{7}{25} \).