5. К концам легкого стержня длиной 60 см подвешены гири массами 100 г и 500 г. В какой точке нужно подвесить этот стержень, чтоб он был в равновесии в горизонтальном положении? 6. Какая работа совершается при подъеме мраморной плиты объемом 1,2 м³ на высоту 8 м? Чему будет равна работа, если эту плиту поднимать на ту же высоту в воде? Плотность мрамора — 2,7 · 103 кг/м³.

Задание 5. Равновесие стержня

Дано:

• Длина стержня: \( L = 60 \) см.
• Масса гири 1: \( m_1 = 100 \) г.
• Масса гири 2: \( m_2 = 500 \) г.

Найти: точку подвеса стержня для равновесия.

Решение:

Для того чтобы стержень находился в равновесии, момент силы от первой гири должен быть равен моменту силы от второй гири. Момент силы равен произведению силы на плечо. В данном случае сила — это вес гирь (масса, умноженная на ускорение свободного падения \( g \)). Поскольку \( g \) одинаково для обеих гирь, мы можем сравнивать произведения массы на плечо.

Пусть \( x \) — расстояние от точки подвеса до гири массой \( m_1 \). Тогда расстояние до гири массой \( m_2 \) будет \( 60 - x \) см.

Условие равновесия:

\[ m_1 · x = m_2 · (L - x) \]

Подставляем значения:

\[ 100 · x = 500 · (60 - x) \]

Раскроем скобки:

\[ 100x = 30000 - 500x \]

Перенесём члены с \( x \) в левую часть:

\[ 100x + 500x = 30000 \]

\[ 600x = 30000 \]

Найдем \( x \):

\[ x = \frac{30000}{600} = 50 \] см.

Таким образом, стержень нужно подвесить на расстоянии 50 см от гири массой 100 г (и, соответственно, 10 см от гири массой 500 г).

Ответ: На расстоянии 50 см от гири массой 100 г.

Задание 6. Работа при подъеме плиты

Дано:

• Объем плиты: \( V = 1,2 \) м³.
• Высота подъема: \( h = 8 \) м.
• Плотность мрамора: \( ρ_{мрамора} = 2,7 · 10^3 \) кг/м³.
• Плотность воды: \( ρ_{воды} = 1000 \) кг/м³ (общеизвестное значение).

Найти: работу при подъеме в воздухе и в воде.

Решение:

Работа при подъеме тела равна изменению его потенциальной энергии, то есть \( A = m · g · h \), где \( m \) — масса тела, \( g \) — ускорение свободного падения, \( h \) — высота подъема.

Сначала найдем массу мраморной плиты:

\[ m = ρ_{мрамора} · V \]

\[ m = (2,7 · 10^3 \text{ кг/м}^3) · (1,2 \text{ м}^3) = 3,24 · 10^3 \] кг.

1. Работа при подъеме в воздухе:

В воздухе на тело действует сила тяжести, поэтому работа равна:

\[ A_{воздух} = m · g · h \]

\[ A_{воздух} = (3,24 · 10^3 \text{ кг}) · g · (8 \text{ м}) \]

Примем \( g ≈ 9,8 \) м/с² (или \( 10 \) м/с² для упрощения, если не указано иное. Будем использовать \( g=9,8 \) м/с² для большей точности).

\[ A_{воздух} = (3,24 · 10^3) · 9,8 · 8 \]

\[ A_{воздух} ≈ 253958,4 \] Дж.

2. Работа при подъеме в воде:

При подъеме тела в жидкости на него действует выталкивающая сила Архимеда. Полная сила, которую нужно преодолеть, равна разности между силой тяжести и силой Архимеда:

\[ F_{полная} = F_{тяжести} - F_{Архимеда} \]

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости:

\[ F_{Архимеда} = ρ_{воды} · g · V \]

\[ F_{Архимеда} = (1000 \text{ кг/м}^3) · g · (1,2 \text{ м}^3) = 1200 · g \]

Сила тяжести \( F_{тяжести} = m · g = (3,24 · 10^3) · g \).

Тогда сила, которую нужно преодолеть, равна:

\[ F_{полная} = (3,24 · 10^3) · g - 1200 · g = (3240 - 1200) · g = 2040 · g \]

Работа при подъеме в воде:

\[ A_{воды} = F_{полная} · h = (2040 · g) · 8 \]

\[ A_{воды} = 2040 · 9,8 · 8 \]

\[ A_{воды} ≈ 160000 · 1,2 ≈ 159936 \] Дж.

Ответ: Работа при подъеме в воздухе составляет примерно 253958,4 Дж. Работа при подъеме в воде составляет примерно 159936 Дж.