5. Как изменятся длина окружности и площадь круга если их радиус а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 3 раза; в) увеличить в 10 1/4 раза?

Решение:

Длина окружности вычисляется по формуле \( C = 2 \pi r \), а площадь круга — по формуле \( S = \pi r^2 \). Где \( r \) — радиус окружности.

а) Увеличение радиуса в 2 раза:

• Новая длина окружности: \( C' = 2 \pi (2r) = 2(2 \pi r) = 2C \). Длина окружности увеличится в 2 раза.
• Новая площадь круга: \( S' = \pi (2r)^2 = \pi (4r^2) = 4(\pi r^2) = 4S \). Площадь круга увеличится в 4 раза.

б) Уменьшение радиуса в 3 раза:

• Новая длина окружности: \( C' = 2 \pi (\frac{r}{3}) = \frac{1}{3}(2 \pi r) = \frac{1}{3}C \). Длина окружности уменьшится в 3 раза.
• Новая площадь круга: \( S' = \pi (\frac{r}{3})^2 = \pi \frac{r^2}{9} = \frac{1}{9}(\pi r^2) = \frac{1}{9}S \). Площадь круга уменьшится в 9 раз.

в) Увеличение радиуса в \( 10 \frac{1}{4} = \frac{41}{4} \) раза:

• Новая длина окружности: \( C' = 2 \pi (\frac{41}{4}r) = \frac{41}{4}(2 \pi r) = \frac{41}{4}C \). Длина окружности увеличится в \( \frac{41}{4} \) раза.
• Новая площадь круга: \( S' = \pi (\frac{41}{4}r)^2 = \pi \frac{41^2}{4^2}r^2 = \frac{1681}{16}(\pi r^2) = \frac{1681}{16}S \). Площадь круга увеличится в \( \frac{1681}{16} \) раза.

Ответ: а) Длина окружности увеличится в 2 раза, площадь круга — в 4 раза. б) Длина окружности уменьшится в 3 раза, площадь круга — в 9 раз. в) Длина окружности увеличится в \( \frac{41}{4} \) раза, площадь круга — в \( \frac{1681}{16} \) раза.