5. Какой цифрой оканчивается значение выражения \(5 \cdot 131^{52} + 3 \cdot 325^{18} - 2 \cdot 106^{23}\)

Решение:

Чтобы найти последнюю цифру выражения, определим последнюю цифру каждого слагаемого.

1. Последняя цифра \(5 \cdot 131^{52}\):

• Последняя цифра числа 131 — это 1.
• Любая степень числа, оканчивающегося на 1, оканчивается на 1. Значит, \(131^{52}\) оканчивается на 1.
• \(5 \cdot (...1)\) оканчивается на 5 (так как \(5 \cdot 1 = 5\)).

2. Последняя цифра \(3 \cdot 325^{18}\):

• Последняя цифра числа 325 — это 5.
• Любая степень числа, оканчивающегося на 5, оканчивается на 5. Значит, \(325^{18}\) оканчивается на 5.
• \(3 \cdot (...5)\) оканчивается на 5 (так как \(3 \cdot 5 = 15\)).

3. Последняя цифра \(2 \cdot 106^{23}\):

• Последняя цифра числа 106 — это 6.
• Любая степень числа, оканчивающегося на 6, оканчивается на 6. Значит, \(106^{23}\) оканчивается на 6.
• \(2 \cdot (...6)\) оканчивается на 2 (так как \(2 \cdot 6 = 12\)).

Теперь найдём последнюю цифру всего выражения:

Последняя цифра = (последняя цифра первого слагаемого + последняя цифра второго слагаемого - последняя цифра третьего слагаемого) mod 10.

Последняя цифра = \((5 + 5 - 2) \pmod{10} = (10 - 2) \pmod{10} = 8 \pmod{10}\)

Таким образом, последняя цифра выражения — 8.

Ответ: 8.