5. Катер прошел по течению реки 40 км, а против течения реки 6 км, затратив на весь путь 3 часа. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение:

Пусть \( v_к \) — собственная скорость катера (в км/ч), а \( v_т \) — скорость течения реки (в км/ч).

Известно, что \( v_т = 2 \) км/ч.

Скорость катера по течению: \( v_{по} = v_к + v_т = v_к + 2 \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v_{пр} = v_к - v_т = v_к - 2 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{40}{v_к + 2} \) часа.

Время в пути против течения: \( t_{пр} = \frac{6}{v_к - 2} \) часа.

Общее время в пути: \( t_{по} + t_{пр} = 3 \) часа.

Составим уравнение:

\( \frac{40}{v_к + 2} + \frac{6}{v_к - 2} = 3 \)

Умножим обе части уравнения на \( (v_к + 2)(v_к - 2) = v_к^2 - 4 \) (при условии \( v_к \neq 2 \) и \( v_к \neq -2 \), так как скорость не может быть отрицательной, то \( v_к \neq -2 \) автоматически выполняется, а \( v_к \neq 2 \) означает, что катер движется против течения, и его собственная скорость больше скорости течения):

\( 40(v_к - 2) + 6(v_к + 2) = 3(v_к^2 - 4) \)

\( 40v_к - 80 + 6v_к + 12 = 3v_к^2 - 12 \)

\( 46v_к - 68 = 3v_к^2 - 12 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 3v_к^2 - 46v_к - 12 + 68 = 0 \)

\( 3v_к^2 - 46v_к + 56 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 2116 - 672 = 1444 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38 \)

Найдем корни \( v_к \):

\[ v_{к1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 + 38}{2 \cdot 3} = \frac{84}{6} = 14 \]

\[ v_{к2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 - 38}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Проверим оба корня:

Если \( v_к = 14 \) км/ч, то \( v_{по} = 14 + 2 = 16 \) км/ч, \( v_{пр} = 14 - 2 = 12 \) км/ч.

\( t_{по} = \frac{40}{16} = 2.5 \) часа.

\( t_{пр} = \frac{6}{12} = 0.5 \) часа.

\( t_{общ} = 2.5 + 0.5 = 3 \) часа. Этот корень подходит.

Если \( v_к = \frac{4}{3} \) км/ч, то \( v_{пр} = \frac{4}{3} - 2 = \frac{4-6}{3} = -\frac{2}{3} \) км/ч. Скорость против течения не может быть отрицательной, значит, этот корень не подходит.

Ответ: собственная скорость катера равна 14 км/ч.