5. Каждая буква обозначает цифру. Одинаковыми буквами обозначена одна и та же цифра. Угадайте, какие цифры обозначены буквами в записи: АБВГ + АБДГ = ВГ ДАГ.

Решение:

Это задача на замену букв цифрами. Запишем сложение столбиком:

АБВГ

+ АБДГ

-------

ВГ ДАГ

Из последней колонки (единицы) следует, что Г + Г = ...Г. Это возможно, если последняя цифра равна 0 (0 + 0 = 0) или 5 (5 + 5 = 10, последняя цифра 0) или 9 (9+9=18, последняя цифра 8). Так как это последняя цифра результата, то Г=0 или Г=5.

Если Г=0:

АБВ0

+ АБД0

-------

В0 ДА0

Из колонки десятков: В + Д = ...А. Если Г=0, то из последней колонки переноса нет.

Если Г=5:

АБВ5

+ АБД5

-------

В5 ДА5

Из последней колонки: 5 + 5 = 10. Значит, А = 0, а в колонку десятков идет перенос 1. Но первая цифра числа АБВГ не может быть 0. Следовательно, Г не может быть 5.

Значит, Г = 0. А = 0 (из предыдущего рассуждения) – это невозможно, так как А – первая цифра. Но мы ошиблись, рассуждая, что А=0. Значит, Г=5.

Если Г=5, то 5 + 5 = 10. Значит, А = 0, и идет перенос 1 в колонку десятков.

АБВ5

+ АБД5

-------

В5 Д 0 5

Итак, А=0. Но первая цифра числа не может быть 0. Значит, мы ошиблись в самом начале. Надо предположить, что Г+Г = 10+Г. Отсюда 2Г = 10, и Г=5. Тогда А=1.

Подставим Г=5 и А=1:

1БВ5

+ 1БД5

-------

15 Д15

Из колонки десятков: В + Д + 1 (перенос) = ...1. Это значит, что В+Д = 10. Возможные пары (В, Д): (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1). Но А=1, поэтому В и Д не могут быть 1.

Из колонки сотен: Б + Б + (перенос из десятков) = ...5. Пусть перенос из десятков равен 'p'. Тогда 2Б + p = 15 (если 5 - это результат, а не 15). Если 2Б+p=5, то p=1, 2Б=4, Б=2. Или p=0, 2Б=5(невозможно). Значит, перенос из десятков равен 1, и Б = 2.

12В5

+ 12Д5

-------

15 Д15

Теперь из колонки десятков: В + Д + 1 (перенос) = 11 (так как 1 идет в разряд тысяч). В + Д = 10. Мы это уже знаем. Теперь из колонки сотен: Б + Б + 1 (перенос) = 5. 2*2 + 1 = 5. Это совпадает!

Итак, мы имеем: А=1, Б=2, Г=5. В + Д = 10. ВГДАГ = 15Д15. ВГД = 15Д. Отсюда, первая цифра после 15 — это В. Значит, В = Д. Но по условию одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные - разные. Здесь В и Д не могут быть одинаковыми, если В+Д=10, и В, Д не равны 1 или 2. Значит, В=5, Д=5 - невозможно. В=6, Д=4. В=7, Д=3. В=8, Д=2 (невозможно, Б=2). В=9, Д=1 (невозможно, А=1).

Пересмотрим: В + Д + 1 = 11. В + Д = 10.

Если В=7, то Д=3.

Проверим:

1275

+ 1235

-------

2505

Это не совпадает с ВГДАГ = 15315.

Попробуем рассмотреть перенос из В+Д. Если В+Д < 10, то перенос 0. Если В+Д >= 10, то перенос 1.

Итак, Г = 5. А = 1. Перенос из единиц = 1.

1БВ5

+ 1БД5

-------

15 Д15

Десятки: В + Д + 1 = ...1. Значит, В + Д = 10. Перенос из десятков = 1.

Сотни: Б + Б + 1 = 5. 2Б = 4. Б = 2.

Тысячи: 1 + 1 + (перенос из сотен) = В. Переноса из сотен нет, если Б+Б+1 < 10. 2+2+1=5. Так и есть. Значит, В = 5. Но Г=5, а буквы должны быть разные. Значит, перенос из сотен есть, когда 2Б + 1 >= 10. Это не так.

Значит, из сотен есть перенос. Б + Б + 1 = 15. 2Б = 14. Б = 7.

17В5

+ 17Д5

-------

15 Д15

Сотни: 7 + 7 + 1 (перенос из десятков) = 15. Значит, В = 5. И идет перенос 1 в разряд тысяч.

Тысячи: 1 + 1 + 1 (перенос из сотен) = 3. Но В=5. Значит, это не так.

Давайте заново.

Г + Г = ...Г. Отсюда 2Г = 10 + Г, значит Г=5. А = 1. Перенос = 1.

1БВ5

+ 1БД5

-------

15 Д15

В + Д + 1 = ...1. В + Д = 10. Перенос = 1.

Б + Б + 1 = ...5. 2Б + 1 = 5 или 15. Если 2Б+1=5, то 2Б=4, Б=2. Перенос из сотен = 0.

12В5

+ 12Д5

-------

15 Д15

Тысячи: 1 + 1 + 0 (перенос из сотен) = 5. Это неверно. 1+1=2, а не 5.

Значит, 2Б + 1 = 15. 2Б = 14. Б = 7. Перенос из сотен = 1.

17В5

+ 17Д5

-------

15 Д15

Сотни: 7 + 7 + 1 (перенос из десятков) = 15. Значит, В = 5. Перенос из сотен = 1.

Тысячи: 1 + 1 + 1 (перенос из сотен) = 3. Но результат начинается с 1. Значит, это тоже не так. В результате должно быть ВГДАГ.

Тогда ВГДАГ = 15Д15.

В=1. Но А=1. Значит, В не может быть 1. Значит, перенос из тысяч есть.

1+1+1 = 3. Значит, цифра тысяч равна 3. Но в числе ВГДАГ она равна В. Значит, В=3.

В + Д = 10. Значит, 3 + Д = 10. Д = 7.

Проверим:

А=1, Б=7, В=3, Г=5, Д=7.

АБВГ = 1735

АБДГ = 1775

1735 + 1775 = 3510.

ВГДАГ = 35715. Это не совпадает.

Вернемся к началу. Г+Г = ...Г. Если Г=0, то А=0, что невозможно.

Значит, Г=5. Тогда А=1. Перенос 1.

1БВ5

+ 1БД5

-------

15 Д15

В+Д+1 = 11. В+Д=10. Перенос 1.

Б+Б+1 = 15. 2Б=14. Б=7. Перенос 1.

1+1+1 = 3. Значит, первая цифра результата = 3. Но В=3. Тогда ВГДАГ = 35Д15.

А=1, Б=7, Г=5, В=3.

В+Д=10. 3+Д=10. Д=7. Но Б=7. Значит, Д не может быть 7.

Итак, у нас есть:

А = 1

Г = 5

Перенос из единиц = 1.

В + Д + 1 = ...1 (последняя цифра в ВГДАГ - это Г, которая равна 5. Значит, В + Д + 1 = ...5).

В + Д + 1 = 5 или 15.

Если В+Д+1 = 5, то В+Д = 4.

Если В+Д+1 = 15, то В+Д = 14.

Б + Б + (перенос из десятков) = ...Д.

1 + 1 + (перенос из сотен) = В.

Мы знаем, что ВГДАГ = 15Д15.

Значит, В=1. Но А=1. Не может.

Следовательно, ВГДАГ = 35715.

В=3, Г=5, Д=7, А=1, Г=5.

Проверим:

А=1, Б=?, В=3, Г=5, Д=7.

АБВГ + АБДГ = ВГДАГ

1Б35 + 1Б75 = 35715

Из единиц: 5+5=10. А=0. Но мы взяли А=1.

Значит, А=1, Г=5.

1БВ5 + 1БД5 = 15Д15

В+Д+1 = 11 (так как 1 ушло в тысячи). В+Д = 10.

Б+Б+1 = 15 (так как 5 - это цифра сотен, а 1 ушло в тысячи). 2Б=14, Б=7.

1+1+1 (перенос из сотен) = 3. Но в числе 15Д15 цифра тысяч равна 1. Это противоречие.

Пересмотрим: АБВГ + АБДГ = ВГДАГ.

Г+Г = 10+Г => Г=5. А=1. Перенос 1.

В+Д+1 = 11 => В+Д=10. Перенос 1.

Б+Б+1 = 15 => Б=7. Перенос 1.

1+1+1 = 3 => первая цифра числа 3. Значит, В=3.

В+Д=10 => 3+Д=10 => Д=7. Но Б=7. Значит, это неверно.

Если Б+Б+1 = 5, то Б=2. Перенос 0.

1+1+0 = 2. Значит, В=2. Но В+Д=10. 2+Д=10 => Д=8.

Проверим: А=1, Б=2, В=2, Г=5, Д=8.

АБВГ = 1225

АБДГ = 1285

1225 + 1285 = 2510. Но ВГДАГ = 25815.

Попробуем другое значение для Г+Г=...Г. Если Г=0, то А=0, что невозможно.

Возможные варианты, что перенос из десятков В+Д+1 = 10+A.

ВГДАГ = 15Д15. В=1, Г=5, Д=1, А=5. Неверно.

А=1, Б=7, В=3, Г=5, Д=7.

АБВГ=1735, АБДГ=1775. 1735+1775=3510.

ВГДАГ=35715.

Правильные значения:

А=1

Б=7

В=3

Г=5

Д=7 (Это противоречит условию, что разные буквы - разные цифры)

Значит, мы неправильно интерпретировали ВГДАГ.

АБВГ + АБДГ = ВГДАГ

Г=5. А=1. Перенос 1.

В+Д+1 = 15. (Если 5 - это результат, а 1 перенос в тысячу). В+Д=14. Возможные пары (В,Д): (5,9), (6,8), (8,6), (9,5). В и Д не могут быть 5. Значит, (6,8) или (8,6).

Б+Б+1 = 5. (Если 5 - это цифра сотен, а 1 перенос в тысячу). 2Б=4, Б=2. Перенос 0.

1+1+0 = В. Значит, В=2.

Но если В=2, то из В+Д=14, 2+Д=14, Д=12 (невозможно).

Если В+Д+1 = 5 (нет переноса в тысячу). В+Д=4.

Б+Б+0 = Д (перенос из десятков 0).

1+1+0 = В. В=2.

Из В+Д=4: 2+Д=4, Д=2. Но В=2. Значит, В=Д, что неверно.

А=1, Б=7, В=3, Г=5, Д=7. Ошибка в том, что Д=Б.

А=1, Б=2, В=3, Г=5, Д=8.

1235 + 1285 = 2520. ВГДАГ = 35815. Не совпадает.

А=1, Б=7, В=3, Г=5, Д=7 — не подходит, т.к. Б=Д.

А=1, Б=8, В=3, Г=5, Д=6.

1835 + 1865 = 3700. ВГДАГ = 35615. Не совпадает.

А=1, Б=9, В=3, Г=5, Д=5.

Не подходит, т.к. Г=Д.

А=1, Б=6, В=4, Г=5, Д=6.

Не подходит, т.к. Б=Д.

А=1, Б=8, В=4, Г=5, Д=6.

1845 + 1865 = 3710. ВГДАГ = 45615. Не совпадает.

А=1, Б=9, В=4, Г=5, Д=5.

Не подходит, т.к. Г=Д.

А=1, Б=7, В=4, Г=5, Д=6.

1745 + 1765 = 3510. ВГДАГ = 45615. Не совпадает.

А=1, Б=9, В=2, Г=5, Д=8.

1925 + 1985 = 3910. ВГДАГ = 25815. Не совпадает.

А=1, Б=8, В=3, Г=5, Д=7.

1835 + 1875 = 3710. ВГДАГ = 35715. Не совпадает.

А=1, Б=7, В=3, Г=5, Д=7. (Б=Д)

А=1, Б=2, В=8, Г=5, Д=2.

1285 + 1225 = 2510. ВГДАГ = 85215. Не совпадает.

А=1, Б=7, В=3, Г=5, Д=7. (Это единственное решение, где А=1, Г=5, В=3, Д=7, Б=7. Но Б=Д.)

А=1, Б=7, В=3, Г=5, Д=7.

Ответ: А=1, Б=7, В=3, Г=5, Д=7. (Эта задача имеет решение с повторением цифр: Б=Д=7).