5. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Решение:

Решим каждое неравенство:

• A) (x - 7)(x - 8) < 0. Корни уравнения (x - 7)(x - 8) = 0: x = 7 и x = 8. Парабола y = (x - 7)(x - 8) ветвями вверх. Неравенство < 0 выполняется между корнями. Решение: (7; 8).
• Б) ⁺−7 ⁄ x−8 > 0. Чтобы дробь была больше нуля, числитель и знаменатель должны быть либо оба положительными, либо оба отрицательными.
  • Случай 1: x - 7 > 0 и x - 8 > 0. Тогда x > 7 и x > 8. Общее решение: x > 8.
  • Случай 2: x - 7 < 0 и x - 8 < 0. Тогда x < 7 и x < 8. Общее решение: x < 7.
  Решение: (-∞; 7) U (8; +∞).
• B) (x - 7)²(x - 8) < 0. Корни уравнения: x = 7 (кратность 2) и x = 8 (кратность 1). При x = 7 выражение равно 0, что не удовлетворяет неравенству < 0. При x < 7, (x - 7)² > 0, (x - 8) < 0, произведение < 0. При 7 < x < 8, (x - 7)² > 0, (x - 8) < 0, произведение < 0. При x > 8, (x - 7)² > 0, (x - 8) > 0, произведение > 0. Решение: (-∞; 8) \ {7}, что эквивалентно (-∞; 7) U (7; 8).
• Г) (x - 8)² ⁄ x - 7 > 0. Числитель (x - 8)² всегда неотрицателен. Он равен 0 при x=8, но при x=8 дробь не определена. Знаменатель x-7. Чтобы дробь была больше нуля, знаменатель должен быть положительным, т.к. числитель всегда > 0 (для x!=8). x - 7 > 0. Решение: x > 7, исключая x = 8. Это (7; 8) U (8; +∞).

Ответ: A-4, Б-2, B-1, Г-3