5. Керлинговый камень, скользящий по льду со скоростью, модуль которой <i>v</i>₀ = 95 см/с, столкнулся с таким же покоящимся камнем (рис. 3) и уменьшил свою скорость до <i>v</i>₁ = 15 см/с. Определите путь, который пройдет второй камень после столкновения, если коэффициент трения между ним и льдом <i>μ</i> = 0,032. Скорости камней направлены вдоль одной прямой. Модуль ускорения свободного падения g = 10 м/с².

Решение:

Эта задача состоит из двух частей: сначала нужно найти скорость второго камня после столкновения, а затем рассчитать путь, который он пройдет до остановки из-за трения.

1. Находим скорость второго камня после столкновения.

   По условию, столкнулись два одинаковых камня. Первый камень имел скорость v₀ = 95 см/с, а второй был покоящимся (v₂ = 0). После столкновения скорость первого камня стала v₁ = 15 см/с. Поскольку мы имеем дело с упругим столкновением двух одинаковых тел (хотя в задаче не сказано, что оно упругое, но в физике часто такие задачи решают как упругие, либо же предполагают, что часть энергии уходит на деформацию, но здесь нет информации об этом), то скорости тел после столкновения меняются местами. То есть, второй камень после столкновения приобретет скорость первого камня до столкновения, а первый камень — скорость второго. Однако, условие задачи гласит, что скорость первого камня уменьшилась до 15 см/с. Это означает, что столкновение было неупругим, и не вся кинетическая энергия первого камня передалась второму. К сожалению, в задаче не дано достаточно информации для точного расчета скоростей после столкновения (например, коэффициент восстановления или импульсы). Однако, если предположить, что задача подразумевает, что после столкновения второй камень получил некоторую скорость, и эта скорость будет использована для дальнейшего движения, то из условия ясно, что первый камень имел скорость 95 см/с, второй - 0. После столкновения первый стал 15 см/с. Предположим, что скорость второго камня после столкновения (v₂) не равна 0, но неизвестна. Если задача подразумевает, что первый камень столкнулся со вторым и первый камень уменьшил свою скорость до 15 см/с, то необходимо найти, какую скорость получил второй камень. Без дополнительной информации (например, характер столкновения) мы не можем точно определить скорость второго камня. НО, если предположить, что вопрос задачи подразумевает, что второй камень (который покоился) после столкновения получил скорость первого камня (95 см/с), а первый камень остановился или его скорость стала 15 см/с, то это противоречие. Давайте предположим, что в задаче есть ошибка и речь идет о том, что первый камень, имевший скорость 95 см/с, столкнулся со вторым покоящимся камнем, и после столкновения второй камень приобрел скорость v₂, а первый камень — v₁=15 см/с. Если мы предположим, что второй камень после столкновения приобрел некоторую скорость, которую мы должны найти. Но без закона сохранения импульса и энергии, или информации о характере столкновения, это невозможно. Давайте сделаем самое логичное предположение, исходя из формулировки: первый камень (v₀ = 95 см/с) столкнулся с покоящимся вторым (v₂ = 0), и после этого первый камень стал двигаться со скоростью v₁ = 15 см/с, а второй камень приобрел скорость, которую мы должны найти. В классических задачах на упругое столкновение одинаковых тел, скорости меняются местами. Но здесь это не так. Прочитаем еще раз: «...и уменьшил свою скорость до v₁ = 15 см/с». Это относится к первому камню. То есть, первый камень после столкновения имеет скорость 15 см/с. Скорость второго камня после столкновения нам неизвестна, но мы должны найти путь, который пройдет второй камень. Если предположить, что задача подразумевает, что второй камень после столкновения получил скорость, равную скорости первого камня до столкновения, то есть 95 см/с, а первый камень замедлился до 15 см/с (что возможно, если они слиплись, например, но это не указано). Наиболее вероятное предположение, что второй камень после столкновения приобрел некоторую скорость, а первый камень после столкновения движется со скоростью 15 см/с. Если задача некорректна, то невозможно решить. Давайте предположим, что второй камень получил скорость, равную скорости первого камня, то есть 95 см/с, но это не следует из условия. Наиболее разумное предположение, что если первый камень после столкновения имел скорость 15 см/с, то второй камень после столкновения получил некоторую другую скорость. Если рассмотреть закон сохранения импульса: m * v₀ + m * 0 = m * v₁ + m * v₂. Так как массы одинаковые, то v₀ = v₁ + v₂. Тогда 95 см/с = 15 см/с + v₂. Отсюда v₂ = 95 - 15 = 80 см/с. Итак, второй камень после столкновения будет двигаться со скоростью 80 см/с.

   Переведем скорость в м/с:

   \(\begin{equation*}\) v_2 = 80 \(\frac{\text{см}}{\text{с}}\) = 0.8 \(\frac{\text{м}}{\text{с}}\) \(\text{.}\) \(\tag{1}\) \(\newline\) \(\newline\) \(\text{Ускорение свободного падения }\) g = 10 \(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\) \(\text{, но оно здесь не используется, так как камни скользят по горизонтали.}\) \(\newline\) \(\text{Коэффициент трения }\) \(\boldsymbol{\boldsymbol{\nu}}\) = 0.032 \(\text{.}\) \(\newline\) \(\text{Сила трения }\) F_{\(\text{тр}\)} = \(\boldsymbol{\nu}\) N \(\text{, где }\) N \(\text{ - сила нормальной реакции опоры.}\) \(\newline\) \(\text{На горизонтальной поверхности }\) N = mg \(\text{.}\) \(\newline\) \(\text{Сила трения }\) F_{\(\text{тр}\)} = \(\boldsymbol{\nu}\) mg \(\text{.}\) \(\newline\) \(\text{Ускорение, вызванное трением:}\) \(\newline\) a = \(\frac{F_{\text{тр}}}{m}\) = \(\frac{\boldsymbol{\nu} mg}{m}\) = \(\boldsymbol{\nu}\) g \(\text{.}\) \(\newline\) \(\text{Подставим значения:}\) \(\newline\) a = 0.032 \(\times\) 10 \(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\) = 0.32 \(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\) \(\text{.}\) \(\tag{2}\) \(\newline\) \(\newline\) \(\text{Теперь мы можем найти путь, используя формулу для равнозамедленного движения:}\) \(\newline\) v^2 = v_0^2 + 2as \(\newline\) \(\text{где }\) v \(\text{ - конечная скорость (0 м/с, так как камень остановится), }\) v_0 \(\text{ - начальная скорость (скорость второго камня после столкновения), }\) a \(\text{ - ускорение (в данном случае замедление, поэтому берем со знаком минус), }\) s \(\text{ - путь.}\) \(\newline\) \(\text{В нашем случае:}\) \(\newline\) 0^2 = v_2^2 + 2(-a)s \(\newline\) 0 = \(0.8 \text{ м/с}\)^2 - 2 \(\times\) \(0.32 \text{ м/с}^2\) \(\times\) s \(\newline\) 0 = 0.64 \(\text{ м}\)^2/\(\text{с}\)^2 - 0.64 \(\text{ м/с}\)^2 \(\times\) s \(\newline\) 0.64 \(\text{ м/с}\)^2 \(\times\) s = 0.64 \(\text{ м}\)^2/\(\text{с}\)^2 \(\newline\) s = \(\frac{0.64 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.64 \text{ м/с}^2}\) = 1 \(\text{ м}\) \(\text{.}\) \(\tag{3}\)

2. Итоговый расчет:

   Подставим значения из уравнений (1) и (2) в формулу для пути:

   \(\begin{equation*}\) s = \(\frac{v_2^2}{2a}\) = \(\frac\){\(0.8 \text{ м/с}\)^2}{2 \(\times\) 0.32 \(\text{ м/с}\)^2} = \(\frac{0.64 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.64 \text{ м/с}^2}\) = 1 \(\text{ м}\) \(\text{.}\) \(\tag{4}\) \(\newline\) \(\newline\) \(\text{Не забываем, что начальная скорость второго камня после столкновения была найдена как 80 см/с = 0.8 м/с.}\) \(\newline\) \(\text{Ускорение, вызванное трением, равно }\) a = \(\boldsymbol{\nu}\) g = 0.032 \(\times\) 10 \(\text{ м/с}\)^2 = 0.32 \(\text{ м/с}\)^2. \(\newline\) \(\text{Используем формулу для равнозамедленного движения:}\) \(\newline\) v^2 = v_0^2 + 2as \(\newline\) \(\text{Так как конечная скорость }\) v=0 \(\text{, а ускорение замедленное, то:}\) \(\newline\) 0 = v_2^2 - 2as \(\newline\) s = \(\frac{v_2^2}{2a}\) \(\newline\) s = \(\frac\){\(0.8 \text{ м/с}\)^2}{2 \(\times\) 0.32 \(\text{ м/с}\)^2} = \(\frac{0.64 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.64 \text{ м/с}^2}\) = 1 \(\text{ м}\) \(\text{. (5)}\) \(\newline\) \(\text{Таким образом, второй камень пройдет путь в 1 метр.}\) \(\newline\) \(\text{Важно отметить, что если бы столкновение было абсолютно упругим, то скорости бы поменялись местами (первый бы остановился, второй получил бы 95 см/с). Но поскольку скорость первого камня уменьшилась до 15 см/с, это означает, что часть энергии ушла на неупругую деформацию или тепло, и скорость второго камня меньше, чем 95 см/с. Использование закона сохранения импульса для определения скорости второго камня является наиболее вероятным подходом к решению данной задачи, предполагая, что силы трения не действуют в момент столкновения, и оно происходит вдоль одной прямой.}\)

Ответ: 1 м.