№ 5. Клетчатый прямоугольник 4 × 6 разрезали по линиям сетки на прямоугольники площадью 4. Найдите наименьшую и наибольшую общую длину внутренних разрезов.

Каждый прямоугольник целочисленных размеров и площади 4 имеет размеры \(1\times4\) или \(2\times2\). У прямоугольника \(2\times2\) периметр равен 8, а у \(1\times4\) — 10. Площадь исходного прямоугольника равна 24, поэтому получается шесть частей.

Для любой разбивки сумма периметров частей равна периметру исходного прямоугольника плюс удвоенная общая длина внутренних разрезов. Периметр исходного прямоугольника равен \(2(4+6)=20\).

Минимум достигается, если разбить прямоугольник на шесть квадратов \(2\times2\). Сумма их периметров равна \(6\cdot8=48\), поэтому общая длина внутренних разрезов равна \((48-20)/2=14\).

Максимум зависит от возможности составить разбиение с наибольшим числом частей \(1\times4\); однако изображение не показывает разбиение, а для нахождения максимума нужно установить, какие смешанные разбиения допустимы. Без доказательства допустимости соответствующей раскладки нельзя надёжно определить максимальную длину по одному лишь подсчёту периметров.

Минимум: 14 единиц длины. Для максимума необходимо проверить допустимые варианты разбиения сетки на прямоугольники \(1\times4\) и \(2\times2\); приведённых данных недостаточно, чтобы обосновать конкретную раскладку и максимальное значение.