5. Колесо катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Ускорение оси колеса равно a. Найти ускорение его верхней точки в момент, когда ускорение нижней точки становится равным по величине ускорению оси a.

Обозначим радиус колеса через \(R\), а угловую скорость — через \(\omega\).

1. При качении без проскальзывания касательное ускорение точки обода по модулю равно ускорению оси:

   \[a_\tau=\alpha R=a.\]

2. Для нижней точки касательное ускорение направлено противоположно ускорению оси, поэтому оно компенсируется ускорением оси. Остаётся нормальное ускорение:

   \[a_{\text{ниж}}=\omega^2R.\]

3. По условию \(a_{\text{ниж}}=a\), следовательно:

   \[\omega^2R=a.\]

4. Для верхней точки ускорение оси и касательное ускорение направлены в одну сторону, поэтому горизонтальная составляющая равна:

   \[a_x=a+a=2a.\]

   Нормальная составляющая направлена вертикально вниз и равна:

   \[a_y=\omega^2R=a.\]

5. Полное ускорение верхней точки:

   \[a_{\text{верх}}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}\,a.\]

Ответ: \(a_{\text{верх}}=\sqrt{5}\,a\).