5. Компланарны ли векторы: а) $\vec d=(-3;-3;0)$, $\vec i$ и $\vec j$; б) $\vec b=(2;0;-3)$, $\vec i$ и $\vec j$; в) $\vec c=(1;0;-2)$, $\vec i$ и $\vec k$; г) $\vec d=(1;-1;2)$ и $\vec e=(-2;0;1)$ не коллинеарны, так как координаты одного не пропорциональны координатам другого. Если вектор $\vec f=(5;-1;0)$ можно разложить по векторам $\vec d$ и $\vec e$, то векторы $\vec d$, $\vec e$ и $\vec f$ компланарны. Если же вектор $\vec f$ нельзя разложить по векторам $\vec d$ и $\vec e$, то векторы $\vec d$, $\vec e$ и $\vec f$ не компланарны (в противном случае вектор $\vec f$ можно было бы разложить по векторам $\vec d$ и $\vec e$). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли вектор $\vec f$ разложить по векторам $\vec d$ и $\vec e$, то есть существуют ли числа x и y такие, что $\vec f=x\vec d+y\vec e$. Записывая это равенство в координатах, получим $5=x-2y$, $-1=-x$, $0=2x+y$. Если эта система уравнений имеет решение относительно x и y, то векторы компланарны; если не имеет решения, то векторы не компланарны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Компланарны ли векторы: а) $\vec d=(-3;-3;0)$, $\vec i$ и $\vec j$; б) $\vec b=(2;0;-3)$, $\vec i$ и $\vec j$;…$ Фото задания

5. Компланарны ли векторы: а) $\vec d=(-3;-3;0)$, $\vec i$ и $\vec j$; б) $\vec b=(2;0;-3)$, $\vec i$ и $\vec j$; в) $\vec c=(1;0;-2)$, $\vec i$ и $\vec k$; г) $\vec d=(1;-1;2)$ и $\vec e=(-2;0;1)$ не коллинеарны, так как координаты одного не пропорциональны координатам другого. Если вектор $\vec f=(5;-1;0)$ можно разложить по векторам $\vec d$ и $\vec e$, то векторы $\vec d$, $\vec e$ и $\vec f$ компланарны. Если же вектор $\vec f$ нельзя разложить по векторам $\vec d$ и $\vec e$, то векторы $\vec d$, $\vec e$ и $\vec f$ не компланарны (в противном случае вектор $\vec f$ можно было бы разложить по векторам $\vec d$ и $\vec e$). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли вектор $\vec f$ разложить по векторам $\vec d$ и $\vec e$, то есть существуют ли числа x и y такие, что $\vec f=x\vec d+y\vec e$. Записывая это равенство в координатах, получим $5=x-2y$, $-1=-x$, $0=2x+y$. Если эта система уравнений имеет решение относительно x и y, то векторы компланарны; если не имеет решения, то векторы не компланарны.

Accepted Answer

Для трёх векторов в пространстве проверяем определитель из их координат: нулевой определитель означает компланарность.

а) $\vec i=(1;0;0)$, $\vec j=(0;1;0)$. Векторы $\vec i,\vec j$ лежат в плоскости $z=0$, но у $\vec d$ третья координата равна 0, поэтому все три вектора компланарны.

б) $\vec b=(2;0;-3)$ имеет ненулевую третью координату, тогда как $\vec i,\vec j$ лежат в плоскости $z=0$. Определитель равен $-3\ne0$, поэтому векторы не компланарны.

в) $\vec c=(1;0;-2)$, $\vec i=(1;0;0)$, $\vec k=(0;0;1)$. У всех трёх векторов вторая координата равна нулю, следовательно, они лежат в плоскости $y=0$ и компланарны.

г) Ищем числа $x,y$, для которых $\vec f=x\vec d+y\vec e$:

$5=x-2y,\quad -1=-x,\quad 0=2x+y.$

Из второго уравнения $x=1$, из третьего $y=-2$. Подстановка в первое даёт $1-2(-2)=5$, значит, система совместна и $\vec f=\vec d-2\vec e$. Следовательно, три вектора компланарны.

Ответ: а) компланарны; б) не компланарны; в) компланарны; г) компланарны.