5. Квадрат боковой поверхности медного конуса вдвое больше квадрата площади основания конуса. Высота конуса равна Н. Конус переплавлен в шар. Найдите радиус шара.

Решение:

Пусть l — образующая конуса, r — радиус основания конуса, H — высота конуса.

Площадь боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi r l \).

Площадь основания конуса: \( S_{осн} = \pi r^2 \).

По условию, \( (S_{бок})^2 = 2(S_{осн})^2 \).

\( (\pi r l)^2 = 2(\pi r^2)^2 \)

\( \pi^2 r^2 l^2 = 2 \pi^2 r^4 \)

Разделим обе части на \( \pi^2 r^2 \) (при условии \( r \neq 0 \)):

\( l^2 = 2 r^2 \)

Из теоремы Пифагора для конуса: \( l^2 = H^2 + r^2 \).

Подставим \( l^2 \) из первого уравнения во второе:

\( 2r^2 = H^2 + r^2 \)

\( r^2 = H^2 \)

Так как радиус и высота — положительные величины, \( r = H \).

Объем конуса: \( V_{конус} = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \pi r^2 H \).

Так как \( r = H \), то \( V_{конус} = \frac{1}{3} \pi H^2 H = \frac{1}{3} \pi H^3 \).

При переплавке конуса в шар, объем шара равен объему конуса.

Объем шара: \( V_{шар} = \frac{4}{3} \pi R^3 \), где R — радиус шара.

\( V_{шар} = V_{конус} \)

\( \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{1}{3} \pi H^3 \)

Умножим обе части на 3 и разделим на \( \pi \):

\( 4 R^3 = H^3 \)

\( R^3 = \frac{H^3}{4} \)

\( R = \sqrt[3]{\frac{H^3}{4}} = \frac{H}{\sqrt[3]{4}} \).

Можно также записать как \( R = \frac{H \sqrt[3]{2}}{2} \).

Ответ: \( R = \frac{H}{\sqrt[3]{4}} \).