5 log_5 3 + 49 log_7 sqrt(13) =

Решение:

Для упрощения выражения применим свойства логарифмов:

1. Свойство логарифма: a log_b c = log_b c^a
• Первое слагаемое: \( 5 \log_{5} 3 = \log_{5} 3^{5} = \log_{5} 243 \)
• Второе слагаемое: \( 49 \log_{7} \sqrt{13} \)
• Изменим корень в аргументе логарифма: \( \sqrt{13} = 13^{1/2} \)
• Подставим: \( 49 \log_{7} 13^{1/2} \)
• Используем свойство: \( \log_{b} c^{a} = a \log_{b} c \)
• \( 49 \cdot \frac{1}{2} \log_{7} 13 = \frac{49}{2} \log_{7} 13 \)
• Теперь применим первое свойство: \( \frac{49}{2} \log_{7} 13 = \log_{7} 13^{\frac{49}{2}} \)

Таким образом, исходное выражение равно:

\[ \log_{5} 243 + \log_{7} 13^{\frac{49}{2}} \]