5.) Луч BM делит развернутый угол ABC в отношении 5:1, считая от луча BA. Найдите угол ABK, если BK — биссектриса угла MBC.

Развёрнутый угол ABC равен \(180^\circ\).

1. Так как луч BM делит угол ABC в отношении \(5:1\), обозначим одну часть через \(x\):
   \(\angle ABM=5x\), \(\angle MBC=x\).
2. Составим уравнение:
   \(5x+x=180^\circ\),
   \(6x=180^\circ\),
   \(x=30^\circ\).
3. Тогда \(\angle ABM=5\cdot30^\circ=150^\circ\), а \(\angle MBC=30^\circ\).
4. BK — биссектриса угла MBC, поэтому \(\angle MBK=15^\circ\).
5. Следовательно,
   \(\angle ABK=\angle ABM+\angle MBK=150^\circ+15^\circ=165^\circ\).

Ответ: \(165^\circ\).