5. Меньшее основание прямоугольной трапецни равно а см, а острый угол - 30°. Найдите площадь трапеции, если меньшая диагональ образует с основанием угол 60°.

Решение:

• Пусть ABCD — прямоугольная трапеция, где BC — меньшее основание (BC = a), AB — высота, CD — большее основание. Угол ADC = 30°.
• Проведем диагональ AC. Угол BAC = 90° - 60° = 30° (так как сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, и угол ABC = 90°).
• В прямоугольном треугольнике ABC: tg(30°) = BC/AB.
• AB = BC / tg(30°) = a / (1/√3) = a√3 см. (AB - высота трапеции).
• В прямоугольном треугольнике ABC: cos(30°) = AB/AC.
• AC = AB / cos(30°) = (a√3) / (√3/2) = 2a см. (AC - меньшая диагональ).
• Рассмотрим треугольник ADC. Угол DAC = 60°. Угол ADC = 30°.
• В треугольнике ADC: tg(30°) = AC/CD.
• CD = AC / tg(30°) = 2a / (1/√3) = 2a√3 см. (CD - большее основание).
• Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ½ ⋅ (BC + CD) ⋅ AB.
• S = ½ ⋅ (a + 2a√3) ⋅ a√3.
• S = ½ ⋅ a(1 + 2√3) ⋅ a√3.
• S = ½ ⋅ a² ⋅ (√3 + 2√3 ⋅ √3).
• S = ½ ⋅ a² ⋅ (√3 + 6).
• S = rac{a^2(√3 + 6)}{2} см².

Ответ: rac{a^2(6 + √3)}{2} см²