5. Мимо рабочего равномерно и прямолинейно движется тележка массой М = 70 кг со скоростью v. В тот момент, когда тележка поравнялась с рабочим, он положил на нее ящик массой m = 5,0 кг. Чему равен модуль скорости движения тележки, если при этом выделилось Q = 5,25 Дж теплоты?

Эта задачка на применение закона сохранения импульса и учёта неупругого столкновения. Когда рабочий кладёт ящик на тележку, происходит неупругое соударение, и они начинают двигаться вместе.

1. Закон сохранения импульса:

Импульс системы до взаимодействия (тележка + ящик) равен импульсу после взаимодействия (тележка с ящиком как единое целое).

p_до = p_после

До взаимодействия:

• Импульс тележки: p_тележка = M * v
• Импульс ящика: p_ящик = m * 0 (так как ящик изначально неподвижен относительно рабочего)
• Общий импульс до: p_до = M * v

После взаимодействия:

• Общая масса: M_общ = M + m
• Общая скорость: v_общ (именно её мы ищем)
• Общий импульс после: p_после = (M + m) * v_общ

Приравниваем импульсы:

M * v = (M + m) * v_общ

Выражаем v_общ:

v_общ = (M * v) / (M + m)

2. Учёт выделившейся теплоты (Q):

Теплота выделяется при неупругом соударении из-за трения. Работа силы трения переходит в тепло.

Изменение кинетической энергии системы равно работе сил трения, которая равна потерям на тепло:

ΔEk = - Q

Начальная кинетическая энергия (только тележка):

Ek_до = (M * v²) / 2

Конечная кинетическая энергия (тележка + ящик):

Ek_после = ((M + m) * v_общ²) / 2

Потери кинетической энергии:

Ek_до - Ek_после = Q

(M * v²) / 2 - ((M + m) * v_общ²) / 2 = Q

3. Совмещаем уравнения:

У нас есть два уравнения:

1. v_общ = (M * v) / (M + m)
2. (M * v²) / 2 - ((M + m) * v_общ²) / 2 = Q

Подставим первое уравнение во второе:

(M * v²) / 2 - ((M + m) * [(M * v) / (M + m)]²) / 2 = Q

(M * v²) / 2 - ((M + m) * M² * v²) / (2 * (M + m)²) = Q

(M * v²) / 2 - (M² * v²) / (2 * (M + m)) = Q

Вынесем v² / 2 за скобки:

(v² / 2) * [ M - M² / (M + m) ] = Q

Приведём к общему знаменателю в скобках:

(v² / 2) * [ (M * (M + m) - M²) / (M + m) ] = Q

(v² / 2) * [ (M² + Mm - M²) / (M + m) ] = Q

(v² / 2) * [ Mm / (M + m) ] = Q

(M * m * v²) / (2 * (M + m)) = Q

Теперь подставим известные значения:

M = 70 кг

m = 5,0 кг

Q = 5,25 Дж

(70 * 5 * v²) / (2 * (70 + 5)) = 5,25

(350 * v²) / (2 * 75) = 5,25

(350 * v²) / 150 = 5,25

35 * v² / 15 = 5,25

7 * v² / 3 = 5,25

v² = (5,25 * 3) / 7

v² = 15,75 / 7

v² = 2,25

v = √2,25

v = 1,5 м/с

Это была начальная скорость тележки. Теперь найдём конечную скорость (v_общ), используя формулу из пункта 1:

v_общ = (M * v) / (M + m)

v_общ = (70 кг * 1,5 м/с) / (70 кг + 5 кг)

v_общ = 105 / 75

v_общ = 1,4 м/с

Ответ: 1,4 м/с