5. MK — средняя линия треугольника ABC. Найдите: а) PABC; б) PABC, если PABKM = 28; в) PKBCM, если PAKM = 18.

Поскольку MK — средняя линия треугольника, M и K — середины AB и BC, а \(MK=\frac{AC}{2}\).

а) По рисунку \(BM=9\), \(BK=7\), \(AN=8\), причём засечки показывают, что \(AN=NC\). Тогда \(AB=2\cdot9=18\), \(BC=2\cdot7=14\), \(AC=8+8=16\). Следовательно, \(P_{ABC}=18+14+16=48\).

Ответ: а) 48.

б) Из \(MK=6\) следует \(AC=12\). Обозначим \(AB=x\), \(BC=y\). Периметр ABKM равен \(AB+BK+KM+MA=x+\frac y2+6+\frac x2=28\), поэтому \(3x+y=44\). Этого одного равенства недостаточно, чтобы определить \(x+y+12=P_{ABC}\): периметр зависит от неизвестной длины x. Нужны дополнительные данные.

в) Обозначим \(AB=x\), \(AC=y\). Тогда \(AK=\frac x2\), \(AM=MK=\frac y2\). Условие \(P_{AKM}=18\) даёт \(\frac{x}{2}+y=18\). Искомый периметр \(P_{KBCM}=KB+BC+CM+MK=\frac{10}{2}+10+y=15+y\). Значение y из одного уравнения определить нельзя, поэтому периметр однозначно не находится. Нужны дополнительные данные о сторонах треугольника.