5. На диагонали AC ромба ABCD отметили точки M и K так, что AM = CK. Доказать, что ∠ABM = ∠CBK.

Так как точки M и K лежат на диагонали AC, лучи AM и AK совпадают с лучом AC, а лучи CK и CM — с лучом CA.

В ромбе диагональ AC является биссектрисой углов A и C, поэтому \(\angle BAC=\angle CAD\) и \(\angle BCA=\angle ACD\). Кроме того, в ромбе \(AB=BC\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABM\) и \(\triangle CBK\). Имеем:

1. \(AB=BC\) как стороны ромба;
2. \(AM=CK\) по условию;
3. \(\angle BAM=\angle BCK\), поскольку это углы между сторонами ромба и диагональю \(AC\), а диагональ \(AC\) — биссектриса углов \(A\) и \(C\).

Следовательно, \(\triangle ABM=\triangle CBK\) по двум сторонам и углу между ними.

В равных треугольниках соответствующие углы равны, поэтому

\[\angle ABM=\angle CBK.\]

Ответ: \(\angle ABM=\angle CBK\).