5. На доске написаны цифры 1, 2 и 3. Примечательно, что их сумма делится на каждую из них. Как можно дописать на доску ещё три цифры так, чтобы все шесть цифр были разными и их сумма делилась на каждую из них? Найдите все способы и докажите, что других нет.

Пусть сумма всех шести цифр равна S. Она должна делиться на 1, 2 и 3, значит, делится на 6.

Три новые цифры должны быть различны и не равны 1, 2 или 3. Цифру 0 выбрать нельзя: деление на ноль не определено. Поэтому наименьшие возможные новые цифры — 4, 5 и 6, а наибольшие — 7, 8 и 9.

Отсюда сумма шести цифр лежит от 21 до 30. Возможные кратные 6 в этом диапазоне — 24 и 30.

1. Если S = 24, то каждая из трёх новых цифр должна быть делителем 24. Среди цифр от 4 до 9 подходят только 4, 6 и 8. Их сумма равна 18, поэтому вместе с 1, 2 и 3 получается 24.

2. Если S = 30, то среди допустимых новых цифр делителями 30 являются только 5 и 6. Трёх различных цифр выбрать нельзя, значит, этот случай невозможен.

Таким образом, единственный набор новых цифр — 4, 6 и 8. Если учитывать порядок их записи, возможны шесть перестановок: 468, 486, 648, 684, 846, 864.

Ответ: дописать цифры 4, 6 и 8; их можно расположить в любом порядке. Других способов нет.