5. На параллельных прямых а и b отложены два отрезка. Отрезок AB = 8 см на прямой а, отрезок МК = 10 см на прямой b. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. АК = 13,5 см. Сделайте рисунок к задаче и найдите длину отрезков АО и КО.

Решение:

Дано:

Прямые a || b

A, B ∈ a; M, K ∈ b

AB = 8 см

MK = 10 см

АК ∩ ВМ = O

АК = 13.5 см

Найти: AO, KO

1. Сделаем рисунок:
   Нарисуем две параллельные прямые a и b. На прямой a отложим отрезок AB. На прямой b отложим отрезок MK. Соединим точки A с K и B с M. Точка их пересечения — O.
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle MKO \):
3. \( \angle BAO = \angle MKO \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей AK).
4. \( \angle ABO = \angle MKO \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей BM).
5. \( \angle AOB = \angle MOK \) (как вертикальные углы).
6. Сделаем вывод: \( \triangle ABO \) подобен \( \triangle MKO \) по двум углам (или по трем).
7. Запишем отношение соответственных сторон:
8. \( \frac{AO}{KO} = \frac{BO}{MO} = \frac{AB}{MK} \)
9. Подставим известные значения:
10. \( \frac{AO}{KO} = \frac{AB}{MK} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)
11. У нас есть отношение AO к KO. Также известно, что AK = AO + KO = 13.5 см.
12. Из отношения \( \frac{AO}{KO} = \frac{4}{5} \) выразим AO через KO: \( AO = \frac{4}{5} KO \).
13. Подставим это выражение в уравнение суммы отрезков:
14. \( \frac{4}{5} KO + KO = 13.5 \)
15. \( \frac{4}{5} KO + \frac{5}{5} KO = 13.5 \)
16. \( \frac{9}{5} KO = 13.5 \)
17. \( KO = 13.5 \cdot \frac{5}{9} \)
18. \( KO = \frac{13.5 \cdot 5}{9} = \frac{67.5}{9} = 7.5 \) см.
19. Теперь найдём AO:
20. \( AO = AK - KO \)
    \( AO = 13.5 - 7.5 = 6 \) см.
21. Проверим отношение: \( \frac{AO}{KO} = \frac{6}{7.5} = \frac{60}{75} = \frac{4}{5} \). Это соответствует отношению \( \frac{AB}{MK} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \).

Ответ: AO = 6 см, KO = 7.5 см.