5. На проселочных дорогах машина дедушки расходует 7,7 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь через Егорку и Жилино мимо конюшни ей необходим один и тот же объем бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на шоссе?

Решение:

Обозначим расход бензина на шоссе как \( x \) л/100 км.

Расход на проселочной дороге \( v_{прос} = 7.7 \) л/100 км.

Рассмотрим два маршрута, на которые требуется одинаковый объем бензина:

1. Маршрут 1: Антоновка → Ванютино (шоссе) → Богданово (шоссе).
   Путь через Ванютино и Егорку и Жилино мимо конюшни:
   
   • Антоновка → Доломино (шоссе) — 12 км.
   • Доломино → Егорка (шоссе) — 4 км.
   • Егорка → Ванютино (шоссе) — 12 км.
   • Ванютино → Жилино (шоссе) — 9 км.
   • Жилино → Богданово (шоссе) — 12 км.

   Общий путь по шоссе: \( 12 + 4 + 12 + 9 + 12 = 49 \) км.

   Расход бензина на этом маршруте: \( \frac{49}{100} \cdot x \) л.

2. Маршрут 2: Антоновка → Егорка (шоссе) → ... → Богданово (проселочная дорога).
   Путь через Егорку и Жилино мимо конюшни:
   
   • Антоновка → Егорка (шоссе) — 4 км.
   • Егорка → Жилино (проселочная дорога мимо конюшни) — 15 км.
   • Жилино → Богданово (шоссе) — 12 км.

   Здесь возникает путаница в описании. Второй маршрут, который требует такой же объем бензина, должен включать проселочные дороги. Похоже, что речь идет о маршруте, который начинается по шоссе, а затем переходит на проселочную дорогу.

   Давайте перечитаем условие задачи: «на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино И путь через Егорку и Жилино мимо конюшни ей необходим один и тот же объем бензина».

   Путь 1 (через Ванютино):

   Антоновка → ... → Егорка (шоссе) — 4 км (если ехать через Доломино, то 12+4=16 км). Однако, в условии указано, что есть путь через Егорку и Жилино мимо конюшни. Это значит, что есть прямой путь Антоновка-Егорка. Предположим, что расстояние до Егорки по шоссе — это 4 км.

   Давайте будем строго следовать описанию маршрутов:

   Маршрут А (через Ванютино):

   Антоновка → Доломино (шоссе) — 12 км

   Доломино → Егорка (шоссе) — 4 км

   Егорка → Ванютино (шоссе) — 12 км

   Ванютино → Жилино (шоссе) — 9 км

   Жилино → Богданово (шоссе) — 12 км

   Общий путь по шоссе: 12 + 4 + 12 + 9 + 12 = 49 км.

   Расход бензина на этом пути: \( \frac{49}{100} \cdot x \) л.

   Маршрут Б (через Егорку и Жилино мимо конюшни):

   Предполагаем, что этот маршрут отличается от предыдущего составом дорог.

   «Еще один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по проселочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.»

   Антоновка → Егорка (шоссе) — 4 км

   Егорка → Жилино (проселочная дорога мимо конюшни) — 15 км.

   Жилино → Богданово (шоссе) — 12 км.

   Общий путь: 4 + 15 + 12 = 31 км.

   Из этих 31 км:

   Шоссе: \( 4 \text{ км} + 12 \text{ км} = 16 \text{ км} \).

   Проселочная дорога: \( 15 \text{ км} \).

   Расход бензина на этом пути:

   Шоссе: \( \frac{16}{100} \cdot x \) л.

   Проселочная дорога: \( \frac{15}{100} \cdot 7.7 \) л.

   Общий расход на маршруте Б: \( \frac{16x}{100} + \frac{15 \cdot 7.7}{100} \) л.

   Приравниваем объемы бензина:

   Расход на Маршруте А = Расход на Маршруте Б

   \( \frac{49x}{100} = \frac{16x}{100} + \frac{15 \cdot 7.7}{100} \)

   Умножим обе части на 100:

   \( 49x = 16x + 15 \cdot 7.7 \)

   \( 49x - 16x = 115.5 \)

   \( 33x = 115.5 \)

   \( x = \frac{115.5}{33} \)

   \( x = 3.5 \)

   Ответ: 3.5 л/100 км