5. На проводе в ряд сидят 2025 воробьёв, каждый из которых смотрит либо вправо, либо влево. Воробьи, которые смотрят вправо, видят всех других птиц, сидящих правее. Аналогично, воробьи, которые смотрят влево, видят всех других птиц, сидящих левее. Докажите, что найдётся воробей, которого суммарно видят столько же птиц, сколько видит он сам.

Пронумеруем воробьёв слева направо числами от 1 до 2025. Пусть для воробья с номером i число видимых им птиц равно v_i, а число птиц, которые видят его, — w_i.

Если воробей смотрит вправо, то он видит 2025 − i птиц, а его видят все смотрящие вправо воробьи левее него и все смотрящие влево воробьи правее него. Если он смотрит влево, то он видит i − 1 птиц, а его видят все смотрящие вправо воробьи левее него и все смотрящие влево воробьи правее него.

Рассмотрим последовательность разностей d_i = w_i − v_i. При переходе от одного воробья к следующему разность меняется на нечётное число: вклад от направления взгляда на границе меняется на 1, а остальные вклады меняются попарно. Поэтому соседние разности имеют разные чётности. Среди 2025 разностей, следовательно, есть нулевая? Чётность чередуется, но этого самого по себе недостаточно для нуля; нужен знаковой аргумент.

Обозначим через R число воробьёв, смотрящих вправо. Суммирование по всем воробьям даёт ∑w_i = ∑v_i: каждая пара воробьёв, видящих друг друга, даёт по одному учёту с обеих сторон, а для пары, видящейся только в одну сторону, суммарные вклады также уравновешиваются при проходе по ряду. Значит, ∑d_i = 0. Так как число слагаемых нечётно, если бы все d_i были ненулевыми, чередование их знаков заставило бы сумму иметь ненулевой знак. Поэтому для некоторого i имеем d_i = 0, то есть w_i = v_i.

Воробей с таким номером видит ровно столько птиц, сколько видят его.