5. На р-Т-диаграмме отображена последовательность трех процессов (1→2→3) изменения состояния 2 моль идеального газа. При давлении ро и температуре То газ занимает объем 6 л. Какой объем занимает газ в конце процесса 1?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Менделеева-Клапейрона: \( pV = \nu RT \), где \( p \) — давление, \( V \) — объём, \( \nu \) — количество вещества, \( R \) — универсальная газовая постоянная, \( T \) — температура.

Исходные данные:

• Количество вещества: \( \nu = 2 \) моль
• Начальное состояние (точка 3): давление \( p_3 = p_0 \), температура \( T_3 = T_0 \)
• Объём в состоянии 3: \( V_3 = 6 \) л \( = 6 \cdot 10^{-3} \) м³
• Универсальная газовая постоянная: \( R = 8.314 \) Дж/(моль·К)

Из графика:

• Состояние 1: давление \( p_1 = 3p_0 \), температура \( T_1 = T_0 \)
• Состояние 2: давление \( p_2 = 3p_0 \), температура \( T_2 \) (промежуточное состояние, \( T_2 > T_0 \))
• Состояние 3: давление \( p_3 = p_0 \), температура \( T_3 = T_0 \)

1. Найдём объём в состоянии 1 (V₁).

Из закона Менделеева-Клапейрона для состояния 3:

\( p_0 V_3 = \nu R T_0 \)

\( p_0 \cdot 6 \cdot 10^{-3} \) м³ \( = 2 \) моль \( \cdot 8.314 \) Дж/(моль·К) \( \cdot T_0 \)

Отсюда выразим \( p_0 T_0 \):

\( p_0 T_0 = \frac{6 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 8.314} \) (единицы измерения будут соответствовать \( \frac{м^3}{Дж/(моль\cdot К)} \), что не совсем удобно, поэтому просто будем использовать отношение)

Теперь рассмотрим состояние 1:

\( p_1 V_1 = \nu R T_1 \)

\( 3p_0 V_1 = \nu R T_0 \)

Подставим \( \nu R T_0 \) из уравнения для состояния 3:

\( 3p_0 V_1 = p_0 V_3 \)

Теперь мы можем найти \( V_1 \):

\( V_1 = \frac{p_0 V_3}{3p_0} = \frac{V_3}{3} \)

\( V_1 = \frac{6 \text{ л}}{3} = 2 \) л

2. Рассмотрим процесс 1→2.

На участке 1→2 давление постоянно \( p_1 = p_2 = 3p_0 \). Это изобарный процесс. Из закона Шарля (частный случай закона Менделеева-Клапейрона для изобарного процесса): \( \frac{V}{T} = \text{const} \).

\( \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \)

\( \frac{2 \text{ л}}{T_0} = \frac{V_2}{T_2} \)

3. Рассмотрим процесс 2→3.

На участке 2→3 объём постоянен \( V_2 = V_3 = 6 \) л. Это изохорный процесс. Из закона Гей-Люссака (частный случай закона Менделеева-Клапейрона для изохорного процесса): \( \frac{p}{T} = \text{const} \).

\( \frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3} \)

\( \frac{3p_0}{T_2} = \frac{p_0}{T_0} \)

Отсюда найдём \( T_2 \):

\( T_2 = \frac{3p_0 T_0}{p_0} = 3T_0 \)

4. Теперь, зная \( T_2 \), найдём \( V_2 \) из изохорного процесса 2→3.

\( V_2 = V_3 = 6 \) л

5. Проверим объём в состоянии 1, используя данные из состояния 2:

Из изобарного процесса 1→2: \( \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \)

\( \frac{V_1}{T_0} = \frac{6 \text{ л}}{3T_0} \)

\( V_1 = \frac{6 \text{ л} \cdot T_0}{3T_0} = 2 \) л

Результаты совпадают.

Ответ: 2 л.