5. На рис. 190 BD = 15 см, AD = 20 см, ∠ACD = ∠BCD = 45°. Найдите х и у.

Решение:

Дано: \( BD = 15 \text{ см} \), \( AD = 20 \text{ см} \), \( \angle ACD = \angle BCD = 45^{\circ} \).

Найти: \( x \) (длина \( BC \)), \( y \) (длина \( AC \)).

1. Найдём \( BC \) (обозначен как \( x \)).

Рассмотрим \( \triangle BCD \). У нас есть \( BD = 15 \text{ см} \) и \( \angle BCD = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle BCD = 45^{\circ} \) и \( \angle B = 90^{\circ} \) (из рисунка видно, что \( \triangle ABC \) — прямоугольный, и \( BC \) является катетом), то \( \triangle BCD \) является прямоугольным треугольником.

Если \( \angle BCD = 45^{\circ} \), то \( \triangle BCD \) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, \( BC = BD \).

\( x = BC = BD = 15 \text{ см} \).

2. Найдём \( AC \) (обозначен как \( y \)).

Сначала найдём \( CD \). В прямоугольном \( \triangle BCD \):

\( CD = \sqrt{BD^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 15^2} = \sqrt{2 \times 15^2} = 15\sqrt{2} \text{ см} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle ACD \). У нас есть \( AD = 20 \text{ см} \), \( CD = 15\sqrt{2} \text{ см} \) и \( \angle ACD = 45^{\circ} \).

Чтобы найти \( AC \) (обозначен как \( y \)), мы можем использовать теорему косинусов для \( \triangle ACD \) или построить высоту из \( D \) на \( AC \).

Давайте применим теорему косинусов:

\( AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 - AC - CD - \cos(\angle ACD) \)

\( 20^2 = y^2 + (15\sqrt{2})^2 - 2 - y - 15\sqrt{2} - \cos(45^{\circ}) \)

\( 400 = y^2 + (225 - 2) - 2 - y - 15\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( 400 = y^2 + 450 - 30 - y - \frac{2}{2} \)

\( 400 = y^2 + 450 - 30y \)

Перенесём все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( y^2 - 30y + 450 - 400 = 0 \)

\( y^2 - 30y + 50 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение для \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 - 1 - 50 = 900 - 200 = 700 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{700} = \sqrt{100 - 7} = 10\sqrt{7} \)

\( y = \frac{-b  \sqrt{D}}{2a} = \frac{30  10\sqrt{7}}{2} = 15  5\sqrt{7} \)

У нас два возможных значения для \( y = AC \): \( 15 + 5\sqrt{7} \) и \( 15 - 5\sqrt{7} \).

Поскольку \( y = AC \) является катетом прямоугольного \( \triangle ABC \) (так как \( \angle C = 90^{\circ} \)), и \( x = BC \) является другим катетом, то \( y \) должно быть больше \( x \) (поскольку \( AD > BD \) и \( \angle ACD = \angle BCD \)).

\( 15 + 5\sqrt{7} ≈ 15 + 5 - 2.64 = 15 + 13.2 = 28.2 \)

\( 15 - 5\sqrt{7} ≈ 15 - 13.2 = 1.8 \)

Если \( y = 15 - 5\sqrt{7} ≈ 1.8 \), то \( y < x = 15 \). Это может быть возможно, если \( \triangle ABC \) не является прямоугольным в \( C \).

Однако, по условию \( \angle ACD = \angle BCD = 45^{\circ} \) и \( \angle B = 90^{\circ} \).

Если \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \angle BCD = 45^{\circ} \), то \( \angle BDC = 45^{\circ} \). Это делает \( \triangle BCD \) равнобедренным, \( BC = BD = 15 \text{ см} \).

\( \angle BCA = \angle BCD = 45^{\circ} \). Так как \( \angle ABC = 90^{\circ} \) и \( \angle BCA = 45^{\circ} \), то \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Это делает \( \triangle ABC \) равнобедренным прямоугольным треугольником, где \( BC = AB = 15 \text{ см} \) и \( AC = AB - \sqrt{2} = 15\sqrt{2} \text{ см} \).

Проверим, соответствует ли это условию \( AD = 20 \text{ см} \).

Если \( AC = 15\sqrt{2} ≈ 21.2 \text{ см} \), и \( CD = 15\sqrt{2} ≈ 21.2 \text{ см} \), то \( AD \) не может быть \( 20 \text{ см} \) в \( \triangle ACD \), если \( \angle ACD = 45^{\circ} \).

Возможно, \( \angle ABC \) не равно \( 90^{\circ} \). Но на рисунке \( \angle B \) обозначен как прямой угол. Если \( \angle B = 90^{\circ} \), то \( BC \) - катет, \( AC \) - гипотенуза.

Исходя из рисунка, \( \angle ABC = 90^{\circ} \) и \( \angle ACB = 90^{\circ} \) (поскольку \( BC \) и \( AC \) являются катетами), что является противоречием. Значит, \( \angle ABC = 90^{\circ} \) - это угол при вершине B, и \( \angle ACB \) - это угол при вершине C.

Пусть \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Тогда \( \triangle ABC \) - прямоугольный. \( BC = x \) и \( AC = y \) - катеты.

В \( \triangle BCD \): \( BD = 15 \text{ см} \), \( \angle BCD = 45^{\circ} \). Если \( \angle ABC = 90^{\circ} \) и \( \angle BCA = α \), то \( \angle ACD = 45^{\circ} \), и \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = \alpha + 45^{\circ} = 45^{\circ} \) (если D лежит между A и C), или \( \angle BCD = |\alpha - 45^{\circ}| = 45^{\circ} \). Это означает, что \( \alpha = 0^{\circ} \) или \( \alpha = 90^{\circ} \). Если \( \alpha = 90^{\circ} \), то \( \angle BCD = 90^{\circ} \), что не равно \( 45^{\circ} \). Если \( \alpha = 0^{\circ} \), то A, C, B лежат на одной прямой, что не является треугольником.

Предположим, что \( \angle BAC = 90^{\circ} \) — неверно.

Предположим, что \( \angle ACB = 90^{\circ} \). Тогда \( \triangle ABC \) — прямоугольный. \( BC = x \) и \( AC = y \) — катеты. \( AB \) — гипотенуза.

В \( \triangle BCD \): \( BD = 15 \text{ см} \), \( \angle BCD = 45^{\circ} \). Если \( \angle ACB = 90^{\circ} \), то \( \angle ACD = 45^{\circ} \) означает, что \( CD \) делит прямой угол \( ACB \) пополам. Это значит, что \( CD \) — биссектриса. Но \( D \) лежит на \( AB \).

Давайте предположим, что \( \triangle ABC \) — прямоугольный с прямым углом \( \angle B = 90^{\circ} \).

Из \( \angle BCD = 45^{\circ} \) и \( \angle ABC = 90^{\circ} \), мы не можем сделать вывод, что \( \triangle BCD \) равнобедренный, если \( D \) не лежит на \( AC \).

Но \( D \) лежит на \( AC \).

По условию, \( \angle ACD = \angle BCD = 45^{\circ} \). Это означает, что \( CD \) является биссектрисой угла \( \angle ACB \).

Значит, \( \angle ACB = \angle ACD + \angle BCD = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ} \).

Итак, \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

\( BC = x \) и \( AC = y \) — катеты.

В \( \triangle BCD \), \( \angle BCD = 45^{\circ} \), \( BD = 15 \text{ см} \). \( D \) лежит на \( AB \). \( CD \) — биссектриса.

По теореме о биссектрисе угла треугольника:

\( \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD} \)

\( \frac{y}{x} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \)

\( y = \frac{4}{3} x \).

Теперь применим теорему Пифагора к \( \triangle ABC \):

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB = AD + DB = 20 + 15 = 35 \text{ см} \).

\( 35^2 = y^2 + x^2 \)

\( 1225 = (\frac{4}{3} x)^2 + x^2 \)

\( 1225 = \frac{16}{9} x^2 + x^2 \)

\( 1225 = \frac{16x^2 + 9x^2}{9} \)

\( 1225 = \frac{25x^2}{9} \)

\( x^2 = \frac{1225 - 9}{25} \)

\( x^2 = 49 - 9 \)

\( x = \sqrt{49 - 9} = 7 - 3 = 21 \text{ см} \).

Значит, \( x = BC = 21 \text{ см} \).

Теперь найдём \( y = AC \):

\( y = \frac{4}{3} x = \frac{4}{3} - 21 = 4 - 7 = 28 \text{ см} \).

Значит, \( y = AC = 28 \text{ см} \).

Проверим с \( \triangle BCD \). \( BC = 21 \text{ см} \), \( BD = 15 \text{ см} \), \( CD \) — биссектриса \( \angle ACB = 90^{\circ} \). \( \angle BCD = 45^{\circ} \).

По теореме косинусов в \( \triangle BCD \):

\( BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 - BC - CD - \cos(\angle BCD) \)

\( 15^2 = 21^2 + CD^2 - 2 - 21 - CD - \cos(45^{\circ}) \)

\( 225 = 441 + CD^2 - 42 - CD - \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( 225 = 441 + CD^2 - 21\sqrt{2} CD \)

\( CD^2 - 21\sqrt{2} CD + 441 - 225 = 0 \)

\( CD^2 - 21\sqrt{2} CD + 216 = 0 \)

Длина биссектрисы \( CD \) в \( \triangle ABC \) можно найти по формуле: \( l_c = \frac{2ab - \cos(C/2)}{a+b} \)

\( CD = \frac{2 - AC - BC - \cos(90^{\circ}/2)}{AC+BC} = \frac{2 - 28 - 21 - \cos(45^{\circ})}{28+21} = \frac{2 - 28 - 21 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{49} = \frac{28 - 21 - \sqrt{2}}{49} = \frac{28 - 3 - \sqrt{2}}{7} = 4 - 3 - \sqrt{2} = 12\sqrt{2} \text{ см} \).

Проверим, удовлетворяет ли \( CD = 12\sqrt{2} \) уравнению \( CD^2 - 21\sqrt{2} CD + 216 = 0 \).

\( (12\sqrt{2})^2 - 21\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 216 = (144 - 2) - (21 - 12 - 2) + 216 = 288 - 504 + 216 = 504 - 504 = 0 \).

Всё верно.

Ответ: \( x = 21 \text{ см} \), \( y = 28 \text{ см} \).