5. На рис. 30 ABCD — квадрат. Докажите, что BFDE — ромб.

На рисунке отмечено, что BE и BF делят прямой угол B пополам, а DE и DF делят прямой угол D пополам. Поэтому ∠FBE = ∠BFD = ∠FDE = ∠DEB = 45°.

Рассмотрим треугольники ABE и CBF. Они прямоугольные, AB = BC, а углы при B равны 45°, поэтому треугольники равны и BE = BF. Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников CDF и ADE следует DF = DE.

Кроме того, треугольники BCF и ADE равны: BC = AD, их прямые углы равны, а острые углы при B и D равны 45°. Значит, BF = DE. Итак, BE = BF = FD = DE, то есть все стороны четырёхугольника BFDE равны.

Следовательно, BFDE — ромб.