5. На рис. 35 ABCD — квадрат, AL = BM = CN = DK. Докажите, что MNKL — квадрат.

Пусть сторона квадрата ABCD равна a, а AL = BM = CN = DK = x. По рисунку точки L, M, N, K лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA.

Введём координаты: A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Тогда L(x; 0), M(a; x), N(a − x; a), K(0; a − x).

Рассмотрим соседние стороны MN и NK:

\(\overrightarrow{MN}=(-x; a-x)\), \(\overrightarrow{NK}=(-(a-x); -x)\).

Их длины равны, поскольку \(MN^2=x^2+(a-x)^2\) и \(NK^2=(a-x)^2+x^2\).

Кроме того, \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NK}=x(a-x)-x(a-x)=0\), значит, стороны MN и NK перпендикулярны.

Четырёхугольник MNKL имеет равные соседние стороны и прямой угол, следовательно, это квадрат.

Ответ: MNKL — квадрат.