5. На рисунке 53 OA = OC и ∠AOB = ∠BOC. Докажите, что ΔABK = ΔCBK. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁, D ∈ BC и DC = 2BD, D₁ ∈ B₁C₁ и D₁C₁ = 2B₁D₁. Докажите, что AD = A₁D₁.

Первое доказательство.

1. В треугольниках AOB и COB: OA = OC, OB — общая сторона, ∠AOB = ∠BOC. Поэтому ΔAOB ≅ ΔCOB по двум сторонам и углу между ними.
2. Из равенства треугольников следует AB = CB и ∠ABO = ∠OBC. По рисунку B, O и K лежат на одной прямой, поэтому ∠ABK = ∠KBC.
3. В треугольниках ABK и CBK стороны AB и CB равны, BK — общая сторона, а углы между ними равны. Следовательно, ΔABK ≅ ΔCBK по двум сторонам и углу между ними.

Второе доказательство.

1. По условиям AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁. Значит, ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними; в частности, BC = B₁C₁.
2. Так как DC = 2BD, то BC = BD + DC = 3BD, откуда BD = BC/3. Аналогично, B₁D₁ = B₁C₁/3. Из BC = B₁C₁ получаем BD = B₁D₁.
3. Поскольку D лежит на BC, а D₁ — на B₁C₁, ∠ABD = ∠ABC и ∠A₁B₁D₁ = ∠A₁B₁C₁. Из равенства исходных треугольников следует ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.
4. В треугольниках ABD и A₁B₁D₁ равны AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и углы между этими сторонами. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AD = A₁D₁.

Ответ: ΔABK ≅ ΔCBK; AD = A₁D₁.