5. На рисунке отрезки BC и AD параллельны и равны. Докажите, что точка М является серединой отрезка BD.

Дано:

• BC || AD
• BC = AD

Доказать: M — середина BD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔBCM и ΔADM:
• Углы при пересечении диагоналей: ∠BMC и ∠AMD — вертикальные углы, следовательно, они равны: ∠BMC = ∠AMD.
• Равенство сторон: По условию BC = AD.
• Накрест лежащие углы: Так как BC || AD, то секущая AB образует накрест лежащие углы ∠CBM и ∠ADM. Следовательно, ∠CBM = ∠ADM.
• Накрест лежащие углы: Также секущая CD образует накрест лежащие углы ∠BCM и ∠DAM. Следовательно, ∠BCM = ∠DAM.
2. Признак равенства треугольников: По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), ΔBCM = ΔADM.
3. Соответствующие стороны: Так как треугольники равны, то их соответствующие стороны равны. Следовательно, BM = MD.
4. Вывод: Если BM = MD, то точка M является серединой отрезка BD. Что и требовалось доказать.