5°. На рисунке точка К является серединой отрезков AD и BC. Докажите, что прямые AB и CD параллельны.

Решение:

В данной задаче мы имеем два отрезка AD и BC, которые пересекаются в точке K. Известно, что K является серединой обоих отрезков, то есть AK = KD и BK = KC. Мы должны доказать, что прямые AB и CD параллельны.

Рассмотрим два треугольника: \( \triangle ABK \) и \( \triangle DCK \).

По условию задачи:

• AK = KD
• BK = KC

Также, углы \( \angle AKB \) и \( \angle DKC \) являются вертикальными углами, следовательно, они равны:

• \( \angle AKB = \angle DKC \)

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники \( \triangle ABK \) и \( \triangle DCK \) равны:

• \( \triangle ABK = \triangle DCK \)

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Рассмотрим углы \( \angle BAK \) и \( \angle CDK \). Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AD.

• \( \angle BAK = \angle CDK \)

Так как накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны.

Доказано.