5. На рисунке точка К является серединой отрезков AD и ВС. Докажите, что прямые АB и CD параллельны.

Решение:

Задача 5 требует доказательства параллельности прямых AB и CD, основываясь на том, что точка K является серединой отрезков AD и BC.

Для доказательства параллельности прямых AB и CD, рассмотрим треугольники \( \triangle ABK \) и \( \triangle DCK \).

1. Вертикальные углы: Углы \( \angle AKB \) и \( \angle DKC \) являются вертикальными, поэтому они равны: \( \angle AKB = \angle DKC \).
2. Середины отрезков: По условию задачи, точка K является серединой отрезков AD и BC. Это означает, что:
• \( AK = KD \)
• \( BK = KC \)
3. Признак равенства треугольников: По двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников), треугольники \( \triangle ABK \) и \( \triangle DCK \) равны, так как:
• \( AK = KD \) (по условию)
• \( BK = KC \) (по условию)
• \( \angle AKB = \angle DKC \) (вертикальные углы)
4. Соответствующие углы: Так как \( \triangle ABK = \triangle DCK \), то равны их соответствующие углы. В частности, равны углы \( \angle KAB \) и \( \angle KDC \).
5. Признак параллельности прямых: Углы \( \angle KAB \) и \( \angle KDC \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых AB и CD секущей AD. Поскольку эти углы равны, то прямые AB и CD параллельны.

Вывод: Прямые AB и CD параллельны.