5. На рисунке трапеция ABCD, AD ∥ BC; отмечено, что AB = BC = CD, а ∠ACD = 90°. Найти углы трапеции.

Обозначим ∠ACB через x. Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный, поэтому ∠BAC = ∠ACB = x.

Поскольку AD ∥ BC, ∠CAD = ∠ACB = x. В прямоугольном треугольнике ACD получаем ∠ADC = 90° − x.

В треугольнике ABC по теореме синусов BC/AC = sin x/sin 2x. В треугольнике ACD CD/AC = sin x. По условию BC = CD, значит sin x/sin 2x = sin x, откуда sin 2x = 1 и x = 45°.

Тогда ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 90°, ∠B = 180° − 45° = 135°, ∠C = ∠ACB + ∠ACD = 135°, ∠D = 45°.

Ответ: ∠A = 90°, ∠B = 135°, ∠C = 135°, ∠D = 45°.