5. На рисунке ВС — диаметр окружности, МН ⊥ ВС. Найдите длину хорды МС, если ВН = 6 см, СН = 2 см.

Решение задачи 5:

Нам дан рисунок с окружностью, где ВС — это диаметр. Отрезок МН перпендикулярен ВС. Известно, что ВН = 6 см, а СН = 2 см.

1. Найдем длину диаметра ВС:

• Диаметр ВС состоит из двух отрезков: ВН и СН.
• \[ BC = BH + CH \]
  
• \[ BC = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8 \text{ см} \]

2. Найдем длину отрезка СМ:

• В окружности, проведенный из точки на окружности перпендикуляр к диаметру, равен произведению отрезков, на которые он делит диаметр, если мы рассматриваем высоту в прямоугольном треугольнике, опирающемся на диаметр.
• В прямоугольном треугольнике МСВ, угол М равен 90 градусов (так как опирается на диаметр). МН — высота, проведенная к гипотенузе.
• По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике:
  \[ MH^2 = BH \times CH \]
  
• \[ MH^2 = 6 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 12 \text{ см}^2 \]
  
• \[ MH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

3. Найдем длину хорды МС:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник МНС (угол Н = 90 градусов).
• По теореме Пифагора:
  \[ MC^2 = MH^2 + CH^2 \]
  
• \[ MC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 \]
  
• \[ MC^2 = 12 + 4 = 16 \]
  
• \[ MC = \sqrt{16} = 4 \text{ см} \]

Ответ: 4 см