5) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке a) f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 1, [-4; -1/3] б) f(x) = 4/(x-1) + x, [-2; 0]

5) Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

1. a) f(x) = x³ + 3x² - 9x - 1 на отрезке [-4; -1/3]
   
   
   
   1. Найдем производную: \( f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 \).
   
   
   2. Найдем критические точки: \( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \) → \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Корни: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 1 \).
   
   
   3. Из критических точек на отрезок \( [-4; -1/3] \) попадает только \( x = -3 \).
   
   
   4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
      
      
      
      • \( f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) - 1 = -64 + 3(16) + 36 - 1 = -64 + 48 + 36 - 1 = 19 \)
      
      
      • \( f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 1 = -27 + 27 + 27 - 1 = 26 \)
      
      
      • \( f(-1/3) = (-1/3)^3 + 3(-1/3)^2 - 9(-1/3) - 1 = -1/27 + 3(1/9) + 3 - 1 = -1/27 + 1/3 + 2 = \frac{-1 + 9 + 54}{27} = \frac{62}{27} \approx 2.3 \)
      
      
      
      
   
   
   5. Сравним полученные значения: 19, 26, 62/27. Наибольшее значение = 26, наименьшее значение = 62/27.
   
   
   
   


2. б) f(x) = 4/(x-1) + x на отрезке [-2; 0]
   
   
   
   1. Найдем производную: \( f'(x) = \frac{-4}{(x-1)^2} + 1 \).
   
   
   2. Найдем критические точки: \( \frac{-4}{(x-1)^2} + 1 = 0 \) → \( \frac{4}{(x-1)^2} = 1 \) → \( (x-1)^2 = 4 \) → \( x-1 = \pm 2 \). Критические точки: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).
   
   
   3. Из критических точек на отрезок \( [-2; 0] \) попадает только \( x = -1 \).
   
   
   4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
      
      
      
      • \( f(-2) = \frac{4}{-2-1} + (-2) = \frac{4}{-3} - 2 = -4/3 - 2 = -10/3 \approx -3.33 \)
      
      
      • \( f(-1) = \frac{4}{-1-1} + (-1) = \frac{4}{-2} - 1 = -2 - 1 = -3 \)
      
      
      • \( f(0) = \frac{4}{0-1} + 0 = \frac{4}{-1} = -4 \)
      
      
      
      
   
   
   5. Сравним полученные значения: -10/3, -3, -4. Наибольшее значение = -3, наименьшее значение = -4.
   
   
   
   

Ответ: a) Наибольшее значение = 26, наименьшее значение = 62/27. б) Наибольшее значение = -3, наименьшее значение = -4.