5. Найдите наибольшее целое число, не превосходящее значения выражения \(\frac{f(2+\sqrt{5})-f(2-\sqrt{5})}{f(2-\sqrt{5})+f(2+\sqrt{5})}\), где \(f(x) = 5 - x^2\).

Решение:

Нам нужно найти наибольшее целое число, не превосходящее значения данного выражения. Сначала подставим функцию \( f(x) = 5 - x^2 \) в выражение:

1. Вычислим \( f(2+\sqrt{5}) \):
   \( f(2+\sqrt{5}) = 5 - (2+\sqrt{5})^2 = 5 - (4 + 4\sqrt{5} + 5) = 5 - (9 + 4\sqrt{5}) = 5 - 9 - 4\sqrt{5} = -4 - 4\sqrt{5} \)
2. Вычислим \( f(2-\sqrt{5}) \):
   \( f(2-\sqrt{5}) = 5 - (2-\sqrt{5})^2 = 5 - (4 - 4\sqrt{5} + 5) = 5 - (9 - 4\sqrt{5}) = 5 - 9 + 4\sqrt{5} = -4 + 4\sqrt{5} \)
3. Теперь подставим эти значения в числитель выражения:
   \( f(2+\sqrt{5}) - f(2-\sqrt{5}) = (-4 - 4\sqrt{5}) - (-4 + 4\sqrt{5}) = -4 - 4\sqrt{5} + 4 - 4\sqrt{5} = -8\sqrt{5} \)
4. Подставим значения в знаменатель выражения:
   \( f(2-\sqrt{5}) + f(2+\sqrt{5}) = (-4 + 4\sqrt{5}) + (-4 - 4\sqrt{5}) = -4 + 4\sqrt{5} - 4 - 4\sqrt{5} = -8 \)
5. Теперь вычислим значение всего выражения:
   \( \frac{-8\sqrt{5}}{-8} = \sqrt{5} \)
6. Нам нужно найти наибольшее целое число, не превосходящее \( \sqrt{5} \). Мы знаем, что \( 2^2 = 4 \) и \( 3^2 = 9 \), следовательно, \( 2 < \sqrt{5} < 3 \).
7. Наибольшее целое число, не превосходящее \( \sqrt{5} \), это 2.

Ответ: 2.