5. Найдите наибольшее значение функции f(x)=1+8x-x² на промежутке [2;5].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( f(x) = 1 + 8x - x^2 \) на отрезке \( [2; 5] \) сначала найдём её производную:

\( f'(x) = (1 + 8x - x^2)' = 8 - 2x \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 8 - 2x = 0 \)

\( 2x = 8 \)

\( x = 4 \)

Критическая точка \( x = 4 \) принадлежит отрезку \( [2; 5] \).

Теперь вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• При \( x = 2 \): \( f(2) = 1 + 8(2) - 2^2 = 1 + 16 - 4 = 13 \).
• При \( x = 4 \): \( f(4) = 1 + 8(4) - 4^2 = 1 + 32 - 16 = 17 \).
• При \( x = 5 \): \( f(5) = 1 + 8(5) - 5^2 = 1 + 40 - 25 = 16 \).

Сравнивая полученные значения, находим наибольшее:

\( 13, 17, 16 \).

Наибольшее значение функции на отрезке \( [2; 5] \) равно \( 17 \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 17.