№5. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°.

Решение:

Дан правильная четырёхугольная пирамида. Боковое ребро \( b = 12 \) см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания \( \alpha = 60^{\circ} \).

Найти: Объём пирамиды \( V \).

1. Найдём диагональ основания.

В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, диагональю основания и отрезком, соединяющим вершину пирамиды с серединой диагонали (который равен половине диагонали), синус угла равен:

\( \sin \alpha = \frac{d/2}{b} \) - Ошибка в рассуждении, угол между боковым ребром и плоскостью основания, это угол между боковым ребром и его проекцией на основание.

Правильное рассуждение:

В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром \( b \), диагональю основания \( d \) и высотой пирамиды \( h \), угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и его проекцией на основание. Проекция бокового ребра на основание - это половина диагонали основания, так как пирамида правильная четырёхугольная.

\( \cos \alpha = \frac{d/2}{b} \)

\( \cos 60^{\circ} = \frac{d/2}{12} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{d}{24} \)

\( d = 12 \) см.

2. Найдём сторону основания.

Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \), где \( a \) - сторона основания.

\( 12 = a\sqrt{2} \)

\( a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \) см.

3. Найдём высоту пирамиды.

Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного боковым ребром, половиной диагонали и высотой:

\( b^2 = (d/2)^2 + h^2 \)

\( 12^2 = (12/2)^2 + h^2 \)

\( 144 = 6^2 + h^2 \)

\( 144 = 36 + h^2 \)

\( h^2 = 144 - 36 = 108 \)

\( h = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \) см.

4. Вычислим объём пирамиды.

Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \) см².

Формула объёма пирамиды:

\( V = \frac{1}{3} S_{осн} h \)

\( V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 6\sqrt{3} \)

\( V = 24 \cdot 6\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \) см³.

Ответ: 144√3 см³.