5. Найдите область определения функции y = √12-8x+x².

Решение:

Для нахождения области определения функции \( y = \sqrt{12 - 8x + x^2} \) необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\[ 12 - 8x + x^2 \ge 0 \]

Перепишем неравенство в стандартном виде квадратного трехчлена:

\[ x^2 - 8x + 12 \ge 0 \]

Найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 - 8x + 12 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Парабола \( y = x^2 - 8x + 12 \) ветвями направлена вверх. Неравенство \( x^2 - 8x + 12 \ge 0 \) выполняется вне корней, то есть при \( x \le 2 \) или \( x \ge 6 \).

Ответ: \( (-\infty; 2] \cup [6; +\infty) \)