5. Найдите общее решение дефференциального уравнения $$\frac{dy}{dx} = \frac{3y^3}{x^2}$$

Решение:

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

1. Разделим переменные: \( \frac{dy}{y^3} = \frac{3dx}{x^2} \)
2. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{y^3} = \int \frac{3dx}{x^2} \]
3. Вычислим интегралы: \[ \int y^{-3} dy = \frac{y^{-2}}{-2} + C_1 = -\frac{1}{2y^2} + C_1 \] \[ \int 3x^{-2} dx = 3 \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{3}{x} + C_2 \]
4. Приравняем результаты интегрирования: \[ -\frac{1}{2y^2} = -\frac{3}{x} + C \] где \( C = C_2 - C_1 \).
5. Выразим \( y \): \[ \frac{1}{2y^2} = \frac{3}{x} - C = \frac{3 - Cx}{x} \] \[ 2y^2 = \frac{x}{3 - Cx} \] \[ y^2 = \frac{x}{2(3 - Cx)} \] \[ y = \pm\sqrt{\frac{x}{2(3 - Cx)}} \]

Ответ: \( y = \pm\sqrt{\frac{x}{2(3 - Cx)}} \)