5. Найдите периметр \(\triangle ABC\), если: I вариант: \(A(5,7,-1)\), \(B(2,3,1)\), \(C(8,0,-1)\); II вариант: \(A(4,-8,0)\), \(B(-1,3,2)\), \(C(4,-3,2)\).

В пространстве расстояние между точками с координатами \((x_1,y_1,z_1)\) и \((x_2,y_2,z_2)\) вычисляется по формуле \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\).

I вариант.

\(AB=\sqrt{(2-5)^2+(3-7)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{29}\).

\(BC=\sqrt{(8-2)^2+(0-3)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{49}=7\).

\(CA=\sqrt{(5-8)^2+(7-0)^2+(-1-(-1))^2}=\sqrt{58}\).

Периметр: \(P=AB+BC+CA=\sqrt{29}+7+\sqrt{58}\).

II вариант.

\(AB=\sqrt{(-1-4)^2+(3-(-8))^2+(2-0)^2}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}\).

\(BC=\sqrt{(4-(-1))^2+(-3-3)^2+(2-2)^2}=\sqrt{61}\).

\(CA=\sqrt{(4-4)^2+(-8-(-3))^2+(0-2)^2}=\sqrt{29}\).

Периметр: \(P=5\sqrt{6}+\sqrt{61}+\sqrt{29}\).

Ответ: I вариант — \(7+\sqrt{29}+\sqrt{58}\); II вариант — \(5\sqrt{6}+\sqrt{61}+\sqrt{29}\).

Примечание: некоторые координаты на фотографии бледные; вычисления выполнены по указанному прочтению.