5. Найдите площадь сечения единичного куба \(A\ldots D_1\) плоскостью, проходящей через вершину \(B\) и середины \(A_1D_1\), \(D_1C_1\).

Введём координаты вершин куба: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\); верхние вершины имеют ту же пару первых координат и третью координату 1.

1. Середины указанных рёбер: \(M(0,0.5,1)\) на \(A_1D_1\) и \(N(0.5,1,1)\) на \(D_1C_1\).

2. Плоскость через \(B,M,N\) задаётся уравнением \(-2x+2y-3z+2=0\). Её пересечения с рёбрами куба дают пятиугольник \(MNC'B A'\), где \(C'=(1,1,\frac23)\) и \(A'=(0,0,\frac23)\).

3. Площадь многоугольника, вычисленная по координатам его вершин, равна \(\frac{\sqrt{737}}{24}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{737}}{24}\) кв. ед.