5. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 48 см и 14 см.

Задание 5. Ромб

Дано:

• Диагональ \( d_1 = 48 \) см.
• Диагональ \( d_2 = 14 \) см.

Найти: сторону \( a \) и площадь \( S \) ромба.

Решение:

1. Площадь ромба вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]
2. Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 24 \cdot 14 = 336 \] см².
3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \).
4. Найдем длины половин диагоналей:
• \( \frac{d_1}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) см.
• \( \frac{d_2}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) см.
5. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (гипотенузу): \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
6. Подставим значения: \[ a^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 \]
7. Найдём сторону ромба: \[ a = \sqrt{625} = 25 \] см.

Ответ: сторона 25 см, площадь 336 см².